Page:Lagrange - Œuvres (1867) vol. 1.djvu/373

${\begin{aligned}+&\mathrm {Q} ^{(m)}\left[\mathrm {S} ^{(m)}\cos \left(t{\sqrt {c\alpha ^{(m)}}}\right)+{\frac {\mathrm {U} ^{(m)}}{\sqrt {c\alpha ^{(m)}}}}\sin \left(t{\sqrt {c\alpha ^{(m)}}}\right)\right],\\z=&\mathrm {R} '\quad \ \left[\mathrm {S} '\ \cos \left(t{\sqrt {c\alpha '}}\ \right)+{\frac {\mathrm {U} '}{\sqrt {c\alpha '}}}\ \sin \left(t{\sqrt {c\alpha '}}\ \right)\right]\\+&\mathrm {R} ''\quad \left[\mathrm {S} ''\cos \left(t{\sqrt {c\alpha ''}}\right)+{\frac {\mathrm {U} ''}{\sqrt {c\alpha ''}}}\sin \left(t{\sqrt {c\alpha ''}}\right)\right]\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\+&\mathrm {R} ^{(m)}\left[\mathrm {S} ^{(m)}\cos \left(t{\sqrt {c\alpha ^{(m)}}}\right)+{\frac {\mathrm {U} ^{(m)}}{\sqrt {c\alpha ^{(m)}}}}\sin \left(t{\sqrt {c\alpha ^{(m)}}}\right)\right],\end{aligned}}$

posant $\alpha ^{(m)}$ pour la dernière des valeurs de $-k.$

Les quantités $\mathrm {S',S'',\ldots ,S} ^{(m)}$ et $\mathrm {U',U'',\ldots ,U} ^{(m)}$ sont mises pour dénoter les valeurs des expressions

$\int [(x)\mathrm {L} +(y)\mathrm {M} +(z)\mathrm {N} ]d\mathrm {X} d\mathrm {Y} d\mathrm {Z} \quad {\text{et}}\quad \int \left[(x')\mathrm {L} +(y')\mathrm {M} +(z')\mathrm {N} \right],$

lorsqu’on fait successivement $-k$ égal à $\alpha ',\alpha '',\alpha ^{(m)},\ldots .$ Les autres quantités $\mathrm {P',P'',\ldots ,P} ^{(m)},$ $\mathrm {Q',Q'',\ldots ,Q} ^{(m)},$ $\mathrm {R',R'',\ldots ,R} ^{(m)}$ sont différentes pour chaque particule, c’est-à-dire sont des fonctions variables de $\mathrm {X,Y,Z} .$

Or, si l’on regarde ces fonctions comme indéterminées, on pourra en connaître la valeur par le moyen de la substitution et de la comparaison, ainsi qu’on le pratique dans la méthode connue des indéterminées. Substituons donc au lieu de $x,y,z,$ dans l’équation (D), les expressions ci-dessus, et supposant pour abréger que $\mathrm {S,U}$ dénotent en général les valeurs de $\mathrm {S',S''} ,\ldots ,$ $\mathrm {U',U''} ,\ldots ,$ lorsqu’il y a encore $-k$ au lieu de $\alpha ',\alpha '',\ldots ,$ on aura

${\begin{aligned}&\left[\mathrm {S} '\ \cos \left(t{\sqrt {c\alpha '}}\right)+{\frac {\mathrm {U} '}{\sqrt {c\alpha '}}}\ \sin \left(t{\sqrt {c\alpha '}}\ \right)\right]\int \left(\mathrm {P'\ L+Q'\ M+R'\ N} \right)d\mathrm {X} d\mathrm {Y} d\mathrm {Z} \\+&\left[\mathrm {S} ''\cos \left(t{\sqrt {c\alpha ''}}\right)+{\frac {\mathrm {U} ''}{\sqrt {c\alpha ''}}}\sin \left(t{\sqrt {c\alpha ''}}\right)\right]\int \left(\mathrm {P''L+Q''M+R''N} \right)d\mathrm {X} d\mathrm {Y} d\mathrm {Z} \\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\+&\left[\mathrm {S} ^{(m)}\cos \left(t{\sqrt {c\alpha ^{(m)}}}\right)+{\frac {\mathrm {U} ^{(m)}}{\sqrt {c\alpha ^{(m)}}}}\sin \left(t{\sqrt {c\alpha ^{(m)}}}\right)\right]\\&\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \times \int \left(\mathrm {P} ^{(m)}\mathrm {L} +\mathrm {Q} ^{(m)}\mathrm {M} +\mathrm {R} ^{(m)}\mathrm {N} \right)d\mathrm {X} d\mathrm {Y} d\mathrm {Z} \\&=\mathrm {S} \cos \left(t{\sqrt {-ck}}\right)+{\frac {\mathrm {U} }{\sqrt {-ck}}}\sin \left(t{\sqrt {-ck}}\right),\end{aligned}}$

équation qui doit être identique en faisant $-k$ égal à $\alpha ',\alpha '',\ldots ,\alpha ^{(m)}.$