En suivant encore la même méthode, on trouvera pour les valeurs de 
des formules composées de 
termes semblables dont chacun répondra à une quelconque des valeurs de 
on pourra donc par ce moyen avoir autant de solutions particulières qu’il y aura de combinaisons à faire, une à une, deux à deux, trois à trois des valeurs de 
de sorte que, leur nombre étant 
celui de solutions particulières sera 
mais, si le nombre des valeurs commensurables est seulement égal à 
il n’y aura que 
de ces solutions qui rendent les oscillations isochrones.
63. Remarque. — Si l’on poussait les expressions des valeurs de 
jusqu’à ce que le nombre de leurs termes fût égal à celui des valeurs de on aurait alors une solution générale et applicable à tous les cas possibles ; quoique cette proposition ne soit pas une suite nécessaire de l’analyse précédente, il est aisé de la démontrer en rigueur par le moyen des principes jusqu’ici établis.
Pour cela, je suppose qu’on développe la formule (D) en autant de formules particulières qu’il y a de valeurs de et qu’on en tire par la combinaison la valeur de 
hacune des quantités 
soit en se servant des règles ordinaires, soit en employant une méthode analogue à celle dont nous avons fait usage dans le Chapitre III des Recherches précédentes (XXIV) ; il est facile de voir que ces valeurs seront exprimées de la manière suivante :
![{\displaystyle {\begin{aligned}x=&\mathrm {P} '\,\left[\mathrm {S} '\ \cos \left(t{\sqrt {c\alpha '}}\right)+{\frac {\mathrm {U} '}{\sqrt {c\alpha '}}}\ \sin \left(t{\sqrt {c\alpha '}}\ \right)\right]\\+&\mathrm {P} ''\left[\mathrm {S} ''\cos \left(t{\sqrt {c\alpha ''}}\right)+{\frac {\mathrm {U} ''}{\sqrt {c\alpha ''}}}\sin \left(t{\sqrt {c\alpha ''}}\right)\right]\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\+&\mathrm {P} ^{(m)}\left[\mathrm {S} ^{(m)}\cos \left(t{\sqrt {c\alpha ^{(m)}}}\right)+{\frac {\mathrm {U} ^{(m)}}{\sqrt {c\alpha ^{(m)}}}}\sin \left(t{\sqrt {c\alpha ^{(m)}}}\right)\right],\\y=&\mathrm {Q} '\ \left[\mathrm {S} '\ \cos \left(t{\sqrt {c\alpha '}}\right)+{\frac {\mathrm {U} '}{\sqrt {c\alpha '}}}\ \sin \left(t{\sqrt {c\alpha '}}\ \right)\right]\\+&\mathrm {Q} ''\left[\mathrm {S} ''\cos \left(t{\sqrt {c\alpha ''}}\right)+{\frac {\mathrm {U} ''}{\sqrt {c\alpha ''}}}\sin \left(t{\sqrt {c\alpha ''}}\right)\right]\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/087e174c20e4a53bfc361bcb3ab87782c423606f)
