Ces équations fourniront une construction à peu près semblable à celle du no 7, mais on pourra s’en passer lorsqu’il ne sera question que de déterminer la durée commune des oscillations des particules de l’air ; car il suffira pour cela de considérer que les équations trouvées demeurent invariables lorsqu’on augmente la valeur de d’un multiple quelconque de d’où il s’ensuit qu’au bout de chaque intervalle de temps les valeurs de et de reviendront les mêmes, et que par le conséquent toutes les particules reprendront aussi la même situation et le même mouvement ; ce qui s’accorde avec ce qu’on a trouvé dans l’endroit cité des Recherches précédentes, quoique d’après une autre hypothèse.
Cela aura lieu en général pour toutes les valeurs possibles de mais si on suppose que les valeurs de soient renfermées dans la formule particulière
étant un nombre entier, positif et déterminé, et un nombre quelconque entier, il est évident, par la nature des sinus et cosinus, que les valeurs de et de reviendront les mêmes après chaque intervalle de temps égal à et qu’ainsi la durée des oscillations se réduira à la moitié, au tiers, au quart, …, selon que sera exprimé par
Or, dans ce cas, il est clair que si l’on décrit une courbe où, les abscisses étant les ordonnées soient cette courbe aura autant de ventres égaux et semblables qu’il y a d’unités dans le nombre par conséquent les quantités qui sont multipliées par chacune de ces ordonnées, devront former aussi des courbes de pareille forme ; autrement le Problème demeurerait indéterminé ou plutôt indéterminable, puisqu’on pourrait trouver pour et plusieurs valeurs différentes, ce qui serait absurde.
On voit par là que ce cas répond exactement à celui que nous avons examiné dans le no XLIX des Recherches précédentes, et qu’il contient par conséquent l’explication des sons harmoniques.
