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${\begin{aligned}&+{\frac {1}{8}}\mathrm {N} ^{\left(\mathrm {X} -t{\sqrt {\frac {c}{2}}},\mathrm {Y} +t{\sqrt {\frac {c}{6}}},\mathrm {Z} -t{\sqrt {\frac {c}{2}}}\right)}+{\frac {1}{8}}\mathrm {N} ^{\left(\mathrm {X} -t{\sqrt {\frac {c}{2}}},\mathrm {Y} -t{\sqrt {\frac {c}{6}}},\mathrm {Z} -t{\sqrt {\frac {c}{2}}}\right)}\\&-{\frac {1}{8}}\mathrm {N} ^{\left(\mathrm {X} +t{\sqrt {\frac {c}{2}}},\mathrm {Y} +t{\sqrt {\frac {c}{6}}},\mathrm {Z} -t{\sqrt {\frac {c}{2}}}\right)}-{\frac {1}{8}}\mathrm {N} ^{\left(\mathrm {X} +t{\sqrt {\frac {c}{2}}},\mathrm {Y} -t{\sqrt {\frac {c}{6}}},\mathrm {Z} -t{\sqrt {\frac {c}{2}}}\right)}\\&-{\frac {1}{8}}\mathrm {N} ^{\left(\mathrm {X} -t{\sqrt {\frac {c}{2}}},\mathrm {Y} +t{\sqrt {\frac {c}{6}}},\mathrm {Z} +t{\sqrt {\frac {c}{2}}}\right)}-{\frac {1}{8}}\mathrm {N} ^{\left(\mathrm {X} -t{\sqrt {\frac {c}{2}}},\mathrm {Y} -t{\sqrt {\frac {c}{6}}},\mathrm {Z} +t{\sqrt {\frac {c}{2}}}\right)},\end{aligned}}$

on trouvera de même les transformées (M) et (N) des deux autres équations (G) et (H), et l’on aura ainsi, en substituant, la transformée entière de la formule

$\cos \left(t{\sqrt {-ck}}\right)\int \left[(x)\mathrm {L} +(y)\mathrm {M} +(z)\mathrm {N} \right]d\mathrm {X} d\mathrm {Y} d\mathrm {Z} ,$

qu’on substituera ensuite dans l’équation (D).

Supposons, pour un moment, que les quantités $(x'),(y'),(z')$ soient nulles dans cette équation, la lettre $k$ s’en ira entièrement et ne se trouvera plus que dans les expressions des quantités $\mathrm {L,M}$ et $\mathrm {N} .$ Or, quoique nous ne connaissions point la forme de ces expressions, on pourra cependant vérifier l’équation indépendamment de $k,$ comme notre méthode le demande ; car pour cela il ne s’agira que de comparer ensemble les quantités qui se trouveront multipliées par les fonctions $\mathrm {L,M,N}$ qui auront des valeurs égales.

Que $\mathrm {(X),(Y),(Z)}$ dénotent les coordonnées qui répondent à l’expression générale $\mathrm {L} ^{(\mathrm {X} +pt,\mathrm {Y} +qt,\mathrm {Z} +rt)},$ on aura, selon notre hypothèse,

$\mathrm {(X)=X} +pt,\qquad \mathrm {(Y)=Y} +qt,\qquad \mathrm {(Z)=Z} +rt,$

$\mathrm {X,Y,Z}$ étant les coordonnées qui répondent à l’expression $\mathrm {L}$ simplement et aux quantités $x,y,z,(x),(y),(z).$ Supposons donc que les valeurs de $\mathrm {(X),(Y),(Z)}$ soient diminuées des quantités $pt,qt,rt$ (ce qui est permis, puisque ces quantités sont constantes à l’égard des intégrations indiquées dans l’équation), elles deviendront $\mathrm {X,Y,Z} \,;$ mais en même temps les coordonnées correspondantes à $(x),(y),(z),$ et qui étaient auparavant $\mathrm {X,Y,Z} ,$ deviendront $\mathrm {X} -pt,\ \mathrm {Y} -qt,\ \mathrm {Z} -rt.$ De