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zéro, lorsque les abscisses $x$ ne sont pas très-petites (4) ; d’où il suit que pour la propagation du côté des abscisses positives $x,$ il ne faudra retenir que les fonctions de $x-t{\sqrt {c}}$ ou de $q-2t{\sqrt {c}}\,;$ on aura donc

$z=\psi \left(x-t{\sqrt {c}}\right)+{\frac {1}{4}}t{\sqrt {c}}\psi '^{2}\left(x-t{\sqrt {c}}\right)-{\frac {1}{4}}(\psi ).$

Or, en supposant la valeur de $\psi \left(x-t{\sqrt {c}}\right)$ très-petite, $\psi '^{2}\left(x-t{\sqrt {c}}\right)$ sera, un infiniment petit du second ordre, et $(\psi )$ sera aussi du même ordre à très-peu près, à cause que la fonction $\psi \left(x-t{\sqrt {c}}\right)$ n’a de valeur que dans une fort petite étendue de l’axe ; mais $t{\sqrt {c}}$ devant être à peu près égal à $x$ recevra une valeur considérable, donc le terme $(\psi )$ s’évanouira auprès du terme $t{\sqrt {c}}\psi '^{2}\left(x-t{\sqrt {c}}\right),$ et la valeur de $s$ se réduira à

$\psi \left(x-t{\sqrt {c}}\right)+{\frac {1}{4}}t{\sqrt {c}}\psi '^{2}\left(x-t{\sqrt {c}}\right).$

Le premier terme $\psi \left(x-t{\sqrt {c}}\right)$ donne, comme il est facile de voir et comme on l’a démontré ailleurs, la vitesse de la propagation égale à ${\sqrt {c}},$ et il est clair que cette vitesse ne peut varier à moins que la quantité ${\sqrt {c}}$ ne varie de même ; supposons donc ${\sqrt {c}}+\alpha ,$ au lieu de ${\sqrt {c}},$ $\alpha$ étant une quantité assez petite, on aura pour le premier terme de la valeur de $z$

$\psi \left(x-t{\sqrt {c}}-t\alpha \right),$

qui se réduit à

$\psi \left(x-t{\sqrt {c}}\right)-t\alpha \psi '\left(x-t{\sqrt {c}}\right)\,;$

comparant cette expression avec celle qu’on a trouvée par notre approximation, on a

$\alpha =-{\frac {\sqrt {c}}{4}}\psi '\left(x-t{\sqrt {c}}\right)\,;$

mais

$-{\sqrt {c}}\psi '\left(x-t{\sqrt {c}}\right)={\frac {d\psi \left(x-t{\sqrt {c}}\right)}{dt}}=u,$

en désignant par $u$ la vitesse propre de la particule qui répond à l’ab-