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valeur de $z',$ savoir de $z+{\frac {dzx}{dx}},$ du n^o 20, devra être ici augmentée de la quantité

{\frac {1}{2{\sqrt {c}}}}\left(\int \mathrm {Q} dt-\int \mathrm {P} dt\right).

On tirera de même de l’équation $(\mathrm {B} )$ la valeur de $u'\,;$ mais on pourra s’épargner la peine de ce calcul, en cherchant, d’après la valeur trouvée de $z',$ celle de ${\frac {dz'}{dt}}=u'.$

Usage des Problèmes précédents.

42. Examinons d’abord le cas d’une ligne physique d’air ; il est facile de trouver que l’équation rigoureuse du mouvement des particules sera

{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=-c\,{\frac {d{\cfrac {1}{1+{\cfrac {dz}{dx}}}}}{dx}}\left(1+{\frac {dz}{dx}}\right)=c\,{\frac {\cfrac {d^{2}z}{dx^{2}}}{1+{\cfrac {dz}{dx}}}},

car la portion du fluide, qui dans l’état d’équilibre occupe l’espace $dx,$ après le temps $t$ remplira l’espace $dx\left(1+{\frac {dz}{dx}}\right),$ et son élasticité sera par conséquent diminuée dans le rapport ${\frac {1}{1+{\cfrac {dz}{dx}}}}\,;$ donc la différence d’élasticité des deux particules adjacentes s’exprimera par

c\,{\frac {d{\cfrac {1}{1+{\cfrac {dz}{dx}}}}}{dx}}\left(1+{\frac {dz}{dx}}\right)dx\,;

donc, divisant par la masse $dx$ de la particule intermédiaire, on aura la force qui tend à la mouvoir ; donc, etc.

Je réduis la fraction ${\frac {1}{1+{\cfrac {dz}{dx}}}}$ en suite par une division infinie ; il vient

1-{\frac {dz}{dx}}+\left({\frac {dz}{dx}}\right)^{2}-\ldots \,;