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Quoique cette équation soit étrangère à la matière que nous traitons, je crois qu’on ne sera point fâché de voir comment notre méthode s’y applique. Je commence ici par supposer ${\frac {dz}{dt}}=u,$ et je décompose par ce moyen l’équation proposée dans les deux suivantes :

${\frac {dz}{dt}}=u,\quad {\frac {du}{dt}}=b{\frac {du}{dx}}+c{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}+y\,;$

je multiplie la première de ces équations par $\mathrm {N} dx$ et la seconde par $\mathrm {M} dx,$ je les ajoute ensemble et j’en prends l’intégrale en faisant évanouir par des intégrations par parties les différences de $z$ qui naissent de la variabilité de $x\,;$ j’ai

${\begin{aligned}\int \left(\mathrm {N} {\frac {dz}{dt}}+\mathrm {M} {\frac {du}{dt}}\right)dx=&\int \left[c{\frac {d^{2}\mathrm {M} }{dx^{2}}}z+\left(\mathrm {N} -b{\frac {d\mathrm {M} }{dx}}\right)u\right]dx+\int \mathrm {M} ydx\\&+b\mathrm {M} u+c\mathrm {M} {\frac {dz}{dx}}-c{\frac {d\mathrm {M} }{dx}}z.\end{aligned}}$

Négligeant ces derniers termes algébriques qui disparaissent d’eux-mêmes, dans la supposition que $z$ et $\mathrm {M}$ soient égaux à zéro au premier et au dernier point de l’intégrale, et comparant terme à terme, on aura

$k\mathrm {N} =c{\frac {d^{2}\mathrm {M} }{dx^{2}}},\qquad k\mathrm {M} =\mathrm {N} -b{\frac {d\mathrm {M} }{dx}}\,;$

d’où l’on tire

$k^{2}\mathrm {M} +bk{\frac {d\mathrm {M} }{dx}}-c{\frac {d^{2}\mathrm {M} }{dx^{2}}}=0,\qquad \mathrm {M} =\mathrm {A} e^{mkx}+\mathrm {B} e^{nkx},$

$m$ et $n$ étant les racines de l’équation

$1+by-cy^{2}=0.$

Or, $\mathrm {M}$ devant être égal à zéro lorsque $x=0$ et $x=a,$ on aura

$\mathrm {B=-A} \quad {\text{et}}\quad e^{mka}-e^{nka}=0,$

ce qui fournira une infinité de valeurs de $k\,;$ on aura donc

$\mathrm {M} =e^{mkx}-e^{nkx},$