lorsque
et
Or dans le premier cas,
étant lui-même égal à zéro, il suffira que
le soit aussi ; dans le second il est clair que toute la quantité s’évanouira d’elle-même à cause du facteur
qui multiplie tous ses termes ; cependant on supposera toujours
afin de terminer la suite des points mobiles au bout inférieur de la chaîne.
35. Scolie i. — Par les formules données dans ce Chapitre, on peut résoudre le Problème du no 61 de l’excellent Traité de la résistance des fluides, de M. d’Alembert, d’une manière peut-être plus analytique que ne l’a fait cet Auteur. Voici en quoi consiste ce Problème : il s’agit de trouver deux quantités
et
telles, que
et
soient l’une et l’autre des différentielles exactes. Pour rendre la question plus générale, je me propose de rendre exactes les deux différentielles
soit la première égale à
et la seconde égale à
on aura
![{\displaystyle \alpha ={\frac {dp}{dt}},\quad \beta ={\frac {dp}{dx}},\quad x^{m}\beta ={\frac {dq}{dt}},\quad bx^{n}\alpha ={\frac {dq}{dx}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22b12e1228e92153a42ab63c6c99289cffa9b957)
donc
![{\displaystyle x^{m}{\frac {dp}{dx}}={\frac {dq}{dt}},\qquad bx^{n}{\frac {dp}{dt}}={\frac {dq}{dx}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1054d28e17f8db1cb540cd68ef9f846830da12b)
Je différentie ces équations en faisant varier
seul dans la première et
seul dans la seconde, et je compare ensuite les deux valeurs de
j’ai
![{\displaystyle {\frac {dx^{m}{\cfrac {dp}{dx}}}{dx}}=bx^{n}{\frac {d^{2}p}{dt^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db20deeb7aa46e789ccd4dafac4137ca966b3ca9)
savoir
![{\displaystyle bx^{n-m}{\frac {d^{2}p}{dt^{2}}}={\frac {d^{2}p}{dx^{2}}}+{\frac {m}{x}}{\frac {dp}{dx}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/950b930e1712a9045d9e58b5790773e8498b34d4)
équation qui est, comme on le voit, susceptible de notre méthode ; en suivant cette méthode, on trouvera d’abord l’équation en ![{\displaystyle \mathrm {M} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1ec92b986053ec4967f418634cf062b9d980f9a)
![{\displaystyle k\mathrm {M} x^{n-m}={\frac {d^{2}\mathrm {M} }{dx^{2}}}-m{\frac {d{\cfrac {\mathrm {M} }{x}}}{dx}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71b8015e522bf566bfb7b3a7f8007100ece3892b)