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reçoivent une valeur infinie, en les dégageant cependant de l’infini qu’ils renferment.

Ayant ainsi trouvé la valeur de $\mathrm {M} ,$ il ne s’agit plus que de poursuivre le calcul de la même manière qu’on l’a fait dans le Problème I : on aura donc de nouveau les deux équations

${\begin{aligned}\int z\mathrm {M} dx=&\cos \left(t{\sqrt {-ck}}\right)\int \mathrm {ZM} dx+{\frac {\sin \left(t{\sqrt {-ck}}\right)}{\sqrt {-ck}}}\int \mathrm {UM} dx,\\\int u\mathrm {M} dx=&\cos \left(t{\sqrt {-ck}}\right)\int \mathrm {UM} dx-{\sqrt {-ck}}\sin \left(t{\sqrt {-ck}}\right)\int \mathrm {ZM} dx\,;\end{aligned}}$

substituant la valeur de

$\mathrm {M=A} \sin \left(x{\sqrt {-k}}\right)+\mathrm {B} {\frac {d\sin \left(x{\sqrt {-k}}\right)}{dx}}+\mathrm {C} {\frac {d^{2}\sin \left(x{\sqrt {-k}}\right)}{dx^{2}}}+\ldots .$

et faisant disparaître les différences de $\sin \left(x{\sqrt {-k}}\right)$ par la méthode des intégrations par parties, on obtiendra

${\begin{aligned}\int z'\sin \left(x{\sqrt {-k}}\right)dx=&\cos \left(t{\sqrt {-ck}}\right)\int \mathrm {Z} '\sin \left(x{\sqrt {-ck}}\right)dx\\&+{\frac {\sin \left(t{\sqrt {-ck}}\right)}{\sqrt {-ck}}}\int \mathrm {U} '\sin \left(x{\sqrt {-k}}\right)dx,\\\int u'\sin \left(x{\sqrt {-k}}\right)dx=&\cos \left(t{\sqrt {-ck}}\right)\int \mathrm {U} '\sin \left(x{\sqrt {-k}}\right)dx\\&-{\sqrt {-ck}}\sin \left(t{\sqrt {-ck}}\right)\int \mathrm {Z} '\sin \left(x{\sqrt {-k}}\right)dx,\end{aligned}}$

ou

${\begin{aligned}z'\ =&\mathrm {A} z-{\frac {d\mathrm {B} z}{dx}}\ +{\frac {d^{2}\mathrm {C} z}{dx^{2}}}-\ldots ,\\\mathrm {Z} '=&\mathrm {AZ} -{\frac {d\mathrm {BZ} }{dx}}+{\frac {d^{2}\mathrm {CZ} }{dx^{2}}}-\ldots ,\\u'\ =&\mathrm {A} u-{\frac {d\mathrm {B} u}{dx}}\ +{\frac {d^{2}\mathrm {C} u}{dx^{2}}}-\ldots ,\\\mathrm {U} '=&\mathrm {AU} -{\frac {d\mathrm {BU} }{dx}}+{\frac {d^{2}\mathrm {CU} }{dx^{2}}}-\ldots .\end{aligned}}$

Enfin l’on tirera les valeurs de $z$ et de $u$ par les mêmes procédés qu’on a suivis dans les Problèmes I et II.