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à croire que lorsque $m$ aura une valeur quelconque $4,6,\ldots ,$ l’expression de $\mathrm {M}$ sera de la forme suivante :

$\mathrm {M=A} \sin \left(x{\sqrt {-k}}\right)+\mathrm {B} x{\frac {d\sin \left(x{\sqrt {-k}}\right)}{dx}}+\mathrm {C} x^{2}{\frac {d^{2}\sin \left(x{\sqrt {-k}}\right)}{dx^{2}}}+\ldots .$

$\mathrm {A,B,C} ,\ldots ,$ étant des coefficients à déterminer par la substitution et la comparaison des termes.

Mais pour embrasser une plus grande généralité, je suppose

$\sin \left(x{\sqrt {-k}}\right)=u,$

$\mathrm {M=A} u+\mathrm {B} {\frac {du}{dx}}+\mathrm {C} {\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+\mathrm {D} {\frac {d^{3}u}{dx^{3}}}+\ldots ,$

et je regarde les quantités $\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ comme des fonctions variables de $x,$ dont il faut chercher la valeur convenable à l’équation donnée.

Je commence par prendre la différentielle de $\mathrm {M}$ que je mets sous la forme suivante :

${\begin{array}{r|r|r|r}{\cfrac {d\mathrm {M} }{dx}}={\cfrac {d\mathrm {A} }{dx}}u+{\cfrac {d\mathrm {B} }{dx}}&{\cfrac {du}{dx}}+{\cfrac {d\mathrm {C} }{dx}}&{\cfrac {d^{2}u}{dx^{2}}}+{\cfrac {d\mathrm {D} }{dx}}&{\cfrac {d^{3}u}{dx^{3}}}+\ldots ,\\+\mathrm {A} \quad &+\mathrm {B} \quad &+\mathrm {C} \quad &+\ldots .\end{array}}$

Je trouve de même

${\begin{array}{r|r|r|r}{\cfrac {d^{2}\mathrm {M} }{dx^{2}}}={\cfrac {d^{2}\mathrm {A} }{dx^{2}}}u+{\cfrac {d^{2}\mathrm {B} }{dx^{2}}}&{\cfrac {du}{dx}}+{\cfrac {d^{2}\mathrm {C} }{dx^{2}}}&{\cfrac {d^{2}u}{dx^{2}}}+{\cfrac {d^{2}\mathrm {D} }{dx^{2}}}&{\cfrac {d^{3}u}{dx^{3}}}+\ldots ,\\+{\cfrac {2d\mathrm {A} }{dx}}&+{\cfrac {2d\mathrm {B} }{dx}}&+{\cfrac {2d\mathrm {C} }{dx}}&+\ldots ,\\&+\mathrm {A} \ \quad &+\mathrm {B} \ \quad &+\ldots .\end{array}}$

On trouvera de plus par la nature de la fonction $u$

$k\mathrm {M=A} {\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+\mathrm {B} {\frac {d^{3}u}{dx^{3}}}+\mathrm {C} {\frac {d^{4}u}{dx^{4}}}+\mathrm {D} {\frac {d^{5}u}{dx^{5}}}+\ldots .$

Substituant ces valeurs dans l’équation

${\frac {d^{2}\mathrm {M} }{dx^{2}}}-{\frac {m}{x}}{\frac {d\mathrm {M} }{dx}}-k\mathrm {M} =0$