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chapitre iv.

application de notre méthode du chapitre ii à différentes hypothèses.

27. Les Problèmes dont nous allons maintenant nous occuper, quoique peu nécessaires pour la matière que nous traitons, serviront néanmoins à faire voir l’utilité et l’extension de notre méthode du Chapitre II ; ils pourront aussi être d’usage dans plusieurs autres points de la théorie du son.

Problème iii. — Construire l’équation ${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=c{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}+mc{\frac {d{\cfrac {z}{x}}}{dx}}.$

Multipliant par $\mathrm {M} dx$ et pratiquant les mêmes réductions que dans le Problème II, on aura l’équation en $\mathrm {M}$

${\frac {d^{2}\mathrm {M} }{dx^{2}}}-{\frac {m}{x}}{\frac {d\mathrm {M} }{dx}}=k\mathrm {M} .$

qu’il faudra intégrer. Or il est facile de s’assurer, au moyen de quelques transformations convenables, que cette équation tombe dans le cas général de Riccati et que par conséquent son intégrabilité dépend de certaines conditions qui se réduisent ici à ce que $m$ soit un nombre pair positif ou négatif ; mais la méthode ordinaire d’intégration pour ces mêmes cas est si laborieuse que je ne saurais me résoudre à la pratiquer ; d’ailleurs il ne suffit pas de trouver une expression algébrique de $\mathrm {M} ,$ il faut de plus qu’elle soit telle, qu’on puisse dans la suite du calcul chasser aisément la quantité $k$ à l’aide de quelques réductions, comme on a fait dans les Problèmes précédents. Il m’a donc fallu imaginer une autre méthode, et voici comment je m’y suis pris.

Puisque l’on a trouvé pour le cas de $m=0,$ qui est celui du Problème I, $\mathrm {M=A} \sin \left(x{\sqrt {-k}}\right),$ et pour le cas de $m=2$ dans le Problème II $\mathrm {M=A} \left[\sin \left(x{\sqrt {-k}}\right)-x{\sqrt {-k}}\cos \left(x{\sqrt {-k}}\right)\right],$ ce qui s’exprime plus simplement par $\mathrm {M=A} \sin \left(x{\sqrt {-k}}\right)-\mathrm {A} x{\frac {d\sin \left(x{\sqrt {-k}}\right)}{dx}},$ on est assez fondé