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un qu’on ne peut pas négliger, c’est celui qui est exprimé par la formule intégrale

$\int \left(\mathrm {U} +{\frac {d\mathrm {U} x}{dx}}\right)=\int \mathrm {U} dx+\mathrm {U} x,$

car il est évident que quoique les valeurs de $\mathrm {U}$ disparaissent sur la ligne $\mathrm {QR}$ depuis le point $\mathrm {Q} ,$ l’intégrale $\int \mathrm {U} dx$ conserve toujours la même valeur constante qu’on a désignée ci-dessus par $\mathrm {B} \,;$ de là il est facile de conclure qu’il faut ajouter à la valeur de $z'$ le terme ${\frac {\mathrm {B} }{2{\sqrt {c}}}}$ et par conséquent à la valeur de $z\left(x+t{\sqrt {c}}\right)^{2}$ le terme $\left({\frac {x^{2}}{2}}+xt{\sqrt {c}}\right){\frac {\mathrm {B} }{2{\sqrt {c}}}},$ lequel fera justement disparaître l’autre terme $-{\frac {1}{2{\sqrt {c}}}}\left({\frac {x^{2}}{2}}+xt{\sqrt {c}}\right)\int \mathrm {U} dx$ lorsque $x=-t{\sqrt {c}},$ $\int \mathrm {U} dx$ devenant alors égal à $\mathrm {B} .$

Si l’on examine maintenant la forme des deux équations précédentes, on verra aisément que l’on peut se passer de l’addition des constantes, en donnant une autre origine aux intégrales $\int \mathrm {Z} dx,\int \mathrm {U} dx,\int \mathrm {U} x^{2}dx,$ et les faisant commencer du point $q'$ en allant vers $\mathrm {R} \,;$ ainsi l’on aura plus simplement

${\begin{aligned}z=&{\frac {\left(x^{2}+xt{\sqrt {c}}\right)\mathrm {Z} +t{\sqrt {c}}\int \mathrm {Z} dx}{2\left(x+t{\sqrt {c}}\right)^{2}}}-{\frac {\left(x^{2}+2xt{\sqrt {c}}\right)\int \mathrm {U} dx+\int \mathrm {U} x^{2}dx}{4{\sqrt {c}}\left(x+t{\sqrt {c}}\right)^{2}}},\\u=&{\frac {\left(x^{2}+xt{\sqrt {c}}\right)\mathrm {U} +t{\sqrt {c}}\int \mathrm {U} dx}{2\left(x+t{\sqrt {c}}\right)^{2}}}\\&\qquad \qquad \qquad -{\sqrt {c}}{\frac {\left(x^{2}+xt{\sqrt {c}}\right){\cfrac {d\mathrm {Z} }{dx}}+\left(x+2t{\sqrt {c}}\right)\mathrm {Z} -\int \mathrm {Z} dx}{2\left(x+t{\sqrt {c}}\right)^{2}}}.\end{aligned}}$

26. Il est visible par ces formules que $z$ et $u$ sont toujours égaux à zéro lorsque la valeur de $x$ tombe au delà des points $q'$ et $\mathrm {Q} '\,;$ d’où il suit que pour le temps donné $t,$ il n’y a que la seule partie $q'\mathrm {Q} '$ de la fibre qui soit en mouvement ; or, comme le point du milieu $\mathrm {P} '$ a été pris tel que $\mathrm {PP} '=t{\sqrt {c}},$ il est évident que l’onde aérienne $q'\mathrm {Q} '$ avancera toujours