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fonctions, devront avoir de part et d’autre du point $\mathrm {A}$ des branches égales et diamétralement opposées, ainsi qu’on l’a trouvé (22). Il n’en sera pas tout à fait ainsi pour les courbes $anb$ et $\mathrm {A} qb$ qui contiennent les fonctions ${\grave {\,}}\!\varphi$ et ${\grave {\,}}\!\psi ,$ car on a pour ces fonctions

$\varphi '\left(-t{\sqrt {c}}\right)=\varphi '\left(t{\sqrt {c}}\right)\quad {\text{et}}\quad {\grave {\,}}\!\psi \left(-t{\sqrt {c}}\right)={\grave {\,}}\!\psi \left(t{\sqrt {c}}\right),$

ce qui montre que les ordonnées doivent être exactement les mêmes à des abscisses égales, positives et négatives, et que par conséquent les branches autour de $\mathrm {A}$ seront semblablement situées sur l’axe, ce qui s’accorde avec ce qui a été enseigné dans le numéro cité.

Examinons maintenant les valeurs des mêmes fonctions pour les abscisses qui surpassent l’axe donné $a.$ Posant $x=a,$ $z=0$ et $u=0,$ on aura de nouveau deux équations ; la première sera

${\begin{aligned}0&={\frac {{\grave {\,}}\!\varphi \left(a+t{\sqrt {c}}\right)+{\grave {\,}}\!\varphi \left(a-t{\sqrt {c}}\right)}{2a}}-{\frac {{\grave {\,}}\!{\grave {\,}}\!\varphi \left(a+t{\sqrt {c}}\right)+{\grave {\,}}\!{\grave {\,}}\!\varphi \left(a-t{\sqrt {c}}\right)}{2a^{2}}}\\&+{\frac {{\grave {\,}}\!{\grave {\,}}\!\psi \left(a+t{\sqrt {c}}\right)-{\grave {\,}}\!{\grave {\,}}\!\psi \left(a-t{\sqrt {c}}\right)}{2a{\sqrt {c}}}}-{\frac {{\grave {\,}}\!{\grave {\,}}\!{\grave {\,}}\!\psi \left(a+t{\sqrt {c}}\right)-{\grave {\,}}\!{\grave {\,}}\!{\grave {\,}}\!\psi \left(a-t{\sqrt {c}}\right)}{2a^{2}{\sqrt {c}}}},\end{aligned}}$

la seconde ne sera que la différentielle de celle-ci divisée par $dt,$ et par conséquent nous pourrons nous dispenser d’y avoir égard. Or, afin que les fonctions ne dépendent pas l’une de l’autre, on fera séparément

$a{\grave {\,}}\!\varphi \left(a+t{\sqrt {c}}\right)-{\grave {\,}}\!{\grave {\,}}\!\varphi \left(a+t{\sqrt {c}}\right)=-a{\grave {\,}}\!\varphi \left(a-t{\sqrt {c}}\right)+{\grave {\,}}\!{\grave {\,}}\!\varphi \left(a-t{\sqrt {c}}\right)$

et

$a{\grave {\,}}\!{\grave {\,}}\!\psi \left(a+t{\sqrt {c}}\right)-{\grave {\,}}\!{\grave {\,}}\!{\grave {\,}}\!\psi \left(a+t{\sqrt {c}}\right)=a{\grave {\,}}\!{\grave {\,}}\!\psi \left(a-t{\sqrt {c}}\right)-{\grave {\,}}\!{\grave {\,}}\!{\grave {\,}}\!\psi \left(a-t{\sqrt {c}}\right).$

Différentions deux fois la première et trois fois la seconde ; on aura, en changeant les signes,

$\varphi \left(a+t{\sqrt {c}}\right)-a\varphi '\left(a+t{\sqrt {c}}\right)=-\varphi \left(a-t{\sqrt {c}}\right)+a\varphi '\left(a-t{\sqrt {c}}\right)$

et

$\psi \left(a+t{\sqrt {c}}\right)-a\psi '\left(a+t{\sqrt {c}}\right)=-\psi \left(a-t{\sqrt {c}}\right)+a\psi '\left(a-t{\sqrt {c}}\right).$

équations qui sont tout à fait semblables entre elles.