proposées
![{\displaystyle \int \mathrm {Z} '\sin \left[(a+z){\sqrt {-k}}\right]dz,\qquad -\int (\mathrm {Z} )\sin \left[(a-z){\sqrt {k}}\right]dz,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7419cd6291ac9857289f6b56de487de297586dc)
on aura
![{\displaystyle \mathrm {Z'=R} +a{\frac {d\mathrm {R} }{dz}},\qquad (\mathrm {Z} )=\mathrm {R} -a{\frac {d\mathrm {R} }{dz}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f72c96ebcb5074fa5c2ef99ab6d945211e5cbfc0)
d’où l’on déduira le rapport entre
et
Multipliant la première équation par
et intégrant, il vient
![{\displaystyle \int \mathrm {Z} 'e^{\frac {z}{a}}dz=a\mathrm {R} e^{\frac {z}{a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d584e052b3c092d3d28219f9e9fd8daebda26eca)
et
![{\displaystyle \mathrm {R} ={\frac {1}{a}}e^{-{\frac {z}{a}}}\int \mathrm {Z} 'e^{\frac {z}{a}}dz,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5af46f9421add2d30ec96bd6672ef70cb8afd444)
d’où l’on tire, en substituant,
![{\displaystyle (\mathrm {Z} )={\frac {2}{a}}e^{-{\frac {z}{a}}}\int \mathrm {Z} 'e^{\frac {z}{a}}dz-\mathrm {Z} '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98f114199b65204530225935f2240b8dae3c1477)
Or, nous avons supposé que
était égal à zéro lorsque
on satisfera donc à cette condition en prenant l’intégrale
telle qu’il s’évanouisse dans ce cas ; il ne faudra pour cela que poser
au lieu de
et
au lieu de
et commencer l’intégration avec les abscisses
du point
en allant vers
on aura par ce moyen
![{\displaystyle (\mathrm {Z} )={\frac {2}{a}}e^{\frac {y}{a}}\int \mathrm {Z} 'e^{-{\frac {y}{a}}}dy-\mathrm {Z} '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9867d31bf0ab72ffb8cd6d9fe35da1dfdc7bc0e5)
Telle est la valeur de
qui, étant prise au lieu de
pour multiplier chaque ordonnée correspondante de la branche
produira une aire égale à celle qui se formerait en multipliant la valeur de
par l’ordonnée correspondante non pas de la branche
mais de celle qui serait la vraie continuation de la courbe
dans notre cas. De là et du rai-