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vient de la trouver, on a une différentielle qu’il serait assez difficile, peut-être impossible, de ramener à l’intégration ; mais on peut simplifier beaucoup le calcul, en supposant l’arbitraire $\mathrm {C}$ nulle ou infinie ; dans le premier cas on a

$p=-{\frac {1}{kx}}-{\frac {1}{\sqrt {k}}},$

et dans le second

$p=-{\frac {1}{kx}}+{\frac {1}{\sqrt {k}}},$

et combinant l’une et l’autre valeur,

$p=-{\frac {1}{kx}}\pm {\frac {1}{\sqrt {k}}}.$

On aura donc

$\int {\frac {dx}{p}}=\int {\frac {kxdx}{-1\pm x{\sqrt {k}}}}=-1\pm x{\sqrt {k}}+\log \left(-1\pm x{\sqrt {k}}\right)\,;$

et par conséquent, en ajoutant une constante $\mathrm {A} ,$

$\mathrm {M=A} \left(-1\pm x{\sqrt {k}}\right)e^{-1\pm x{\sqrt {k}}},$

ou bien, à cause de l’ambiguïté des signes,

$\mathrm {M=A} \left(-1+x{\sqrt {k}}\right)e^{-1+x{\sqrt {k}}}+\mathrm {B} \left(-1-x{\sqrt {k}}\right)e^{-1-x{\sqrt {k}}}.$

Or il faut que $\mathrm {M} =0$ lorsque $x=0,$ d’où il suit que $\mathrm {A+B} =0,$ et par conséquent $\mathrm {B=-A} \,;$ donc en changeant la valeur de la constante $\mathrm {A} ,$

$\mathrm {M=A} \left(e^{x{\sqrt {k}}}-e^{-x{\sqrt {k}}}\right)-\mathrm {A} x{\sqrt {k}}\left(e^{x{\sqrt {k}}}+e^{-x{\sqrt {k}}}\right).$

ou bien encore

$\mathrm {M=A} \left[\sin \left(x{\sqrt {-k}}\right)-x{\sqrt {-k}}\cos \left(x{\sqrt {-k}}\right)\right].$

Telle est la valeur de $\mathrm {M}$ qu’il fallait trouver ; si l’on en prend la différence, on a

${\frac {d\mathrm {M} }{dx}}=-\mathrm {A} kx\sin \left(x{\sqrt {-k}}\right),$

d’où l’on voit qu’au commencement où $x=0,$ on a aussi ${\frac {d\mathrm {M} }{dx}}=0,$ de