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où il faudra supposer

${\frac {d^{2}\mathrm {M} }{dx^{2}}}-{\frac {2d\mathrm {M} }{xdx}}=k\mathrm {M} .$

Cette équation en $\mathrm {M}$ est intégrable par les méthodes connues ; mais en voici une qui est, si je ne me trompe, la plus simple qu’on puisse employer dans ce cas.

Soit supposé $\mathrm {M} e^{\int {\frac {dx}{p}}},$ on aura par la substitution

$-{\frac {dp}{p^{2}dx}}+{\frac {1}{p^{2}}}-{\frac {2}{px}}=k,\quad {\text{savoir}}\quad kp^{2}+{\frac {2p}{x}}+{\frac {dp}{dx}}=1.$

Je vois que cette équation peut s’écrire ainsi

$k\left(p+{\frac {1}{kx}}\right)^{2}dx+d\left(p+{\frac {1}{kx}}\right)=dx\,;$

donc si l’on fait $p+{\frac {1}{kx}}=q,$ on aura

$kq^{2}dx+dq=dx.$

d’où l’on tire

$dx={\frac {dq}{1-kq^{2}}},$

et intégrant par les logarithmes,

$x={\frac {1}{2{\sqrt {k}}}}\log \left({\frac {1+q{\sqrt {k}}}{1-q{\sqrt {k}}}}\right),$

ou bien en passant aux exponentielles, avec l’addition d’une constante $\mathrm {C} ,$

$q{\sqrt {k}}={\frac {\mathrm {C} e^{2x{\sqrt {k}}}-1}{\mathrm {C} e^{2x{\sqrt {k}}}+1}},$

donc

$p=-{\frac {1}{kx}}+{\frac {1}{\sqrt {k}}}{\frac {\mathrm {C} e^{2x{\sqrt {k}}}-1}{\mathrm {C} e^{2x{\sqrt {k}}}+1}}.$

Il faut maintenant, pour avoir la valeur de $\mathrm {M} ,$ intégrer la quantité ${\frac {dx}{p}}.$ Or il est visible que si l’on substitue pour $p$ son expression telle qu’on