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${\begin{aligned}&+{\frac {1}{4{\sqrt {c}}}}\left[\left(\int \mathrm {U} dx\right)^{\left(x'+t'{\sqrt {c}}-t{\sqrt {c}}\right)}-\left(\int \mathrm {U} dx\right)^{\left(x'-t'{\sqrt {c}}-t{\sqrt {c}}\right)}\right]\\&-{\frac {1}{4}}\left[\mathrm {Z} ^{\left(x'+t'{\sqrt {c}}-t{\sqrt {c}}\right)}-\mathrm {Z} ^{\left(x'-t'{\sqrt {c}}-t{\sqrt {c}}\right)}\right].\\u'=&{\frac {1}{4}}\left[\mathrm {U} ^{\left(x'+t'{\sqrt {c}}-t{\sqrt {c}}\right)}+\mathrm {U} ^{\left(x'-t'{\sqrt {c}}-t{\sqrt {c}}\right)}\right]\\&-{\frac {\sqrt {c}}{4}}\left[\left({\frac {d\mathrm {Z} }{dx}}\right)^{\left(x'+t'{\sqrt {c}}-t{\sqrt {c}}\right)}+\left({\frac {d\mathrm {Z} }{dx}}\right)^{\left(x'-t'{\sqrt {c}}-t{\sqrt {c}}\right)}\right]\\&+{\frac {\sqrt {c}}{4}}\left[\left({\frac {d\mathrm {Z} }{dx}}\right)^{\left(x'+t'{\sqrt {c}}-t{\sqrt {c}}\right)}-\left({\frac {d\mathrm {Z} }{dx}}\right)^{\left(x'-t'{\sqrt {c}}-t{\sqrt {c}}\right)}\right]\\&-{\frac {1}{4}}\left[\mathrm {U} ^{\left(x'+t'{\sqrt {c}}-t{\sqrt {c}}\right)}-\mathrm {U} ^{\left(x'-t'{\sqrt {c}}-t{\sqrt {c}}\right)}\right].\end{aligned}}$

Dans ces formules il est visible que les termes dont les exposants renferment la quantit $+t'{\sqrt {c}}$ s’évanouissent tous d’eux-mêmes, et qu’il ne reste que ceux où la même quantité se trouve avec le signe négatif ; d’où il s’ensuit que la propagation des ébranlements $z'$ et $u'$ ne peut se faire que dans le seul sens $\mathrm {PP} '.$

On prouverait la même chose pour les ébranlements propagés d’abord suivant la direction opposée $\mathrm {P\,{\grave {\,}}P} \,;$ car, en substituant pour $z$ et $u$ les seuls termes dont les exposants contiennent $+t{\sqrt {c}},$ on verra que les formules résultantes ne seront composées que de termes où la quantité $t'{\sqrt {c}}$ se trouvera avec le signe $+.$

17. Nous avons supposé ci-dessus que la fibre aérienne était infinie de l’un et de l’autre côté, et cette hypothèse nous a donné des courbes génératrices composées d’une seule branche terminée de part et d’autre, et pour ainsi dire isolée. Mais il n’en serait pas de même si la fibre était elle-même terminée des deux côtés ou d’un côté simplement ; car, puisque la manière de continuer les courbes fondamentales et dérivées est générale, et que les extrémités fixes de la fibre sont les points autour desquels on doit, pour ainsi dire, faire tourner chaque branche pour en avoir la continuation, ainsi qu’on l’a enseigné (7), il est évident que, dans le cas d’une seule extrémité fixe, les courbes génératrices seront