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ébranlements dérivatifs ne se propagent plus que d’un seul côté et toujours suivant la même direction. La raison de cette différence dépend de la nature particulière des ébranlements dérivatifs, qui est telle que leur propagation ne peut avoir lieu que d’un seul côté.

Pour s’en convaincre, qu’on examine les formules des valeurs de $z$ et de $u$ trouvées à la fin du n^o 6, et supposant que $z$ et $u$ soient les excursions et les vitesses données, qu’on cherche celles qui en résultent pour un temps quelconque $t'$ et pour une particule quelconque déterminée par l’abscisse $x'.$ Il est visible qu’il n’y a pour cela qu’à substituer $z$ à la place de $\mathrm {Z} ,$ et $u$ à la place de $\mathrm {U} \,;$ et désignant par $z'$ et $u'$ les valeurs cherchées, on aura

${\begin{aligned}z'=&{\frac {1}{2}}\left[z^{\left(x'+t'{\sqrt {c}}\right)}+z^{\left(x'-t'{\sqrt {c}}\right)}\right]+{\frac {1}{2{\sqrt {c}}}}\left[\left(\int udx\right)^{\left(x'+t'{\sqrt {c}}\right)}-\left(\int udx\right)^{\left(x'-t'{\sqrt {c}}\right)}\right],\\u'=&{\frac {1}{2}}\left[u^{\left(x'+t'{\sqrt {c}}\right)}+u^{\left(x'-t'{\sqrt {c}}\right)}\right]+{\frac {\sqrt {c}}{2}}\left[\left({\frac {dz}{dx}}\right)^{\left(x'+t'{\sqrt {c}}\right)}-\left({\frac {dz}{dx}}\right)^{\left(x'-t'{\sqrt {c}}\right)}\right].\end{aligned}}$

Maintenant on sait, par ce qu’on a démontré (12), que les termes dont les exposants sont $\left(x-t{\sqrt {c}}\right)$ sont les seuls qui déterminent la propagation suivant la direction $\mathrm {PP} ',$ et que la propagation suivant $\mathrm {P\,{\grave {\,}}P} ,$ dépend simplement des termes qui renferment la quantité $(x+t{\sqrt {c}})\,;$ donc, pour connaître la propagation des ébranlements de l’onde $\mathrm {P'Q'} ,$ il ne faudra substituer, au lieu de $z$ et de $u,$ que les seuls termes

${\begin{aligned}&{\frac {1}{2}}\mathrm {Z} ^{\left(x-t{\sqrt {c}}\right)}-{\frac {1}{2{\sqrt {c}}}}\left(\int \mathrm {U} dx\right)^{\left(x-t{\sqrt {c}}\right)}\\&{\frac {1}{2}}\mathrm {U} ^{\left(x-t{\sqrt {c}}\right)}-{\frac {\sqrt {c}}{2}}\left({\frac {d\mathrm {Z} }{dx}}\right)^{\left(x-t{\sqrt {c}}\right)}\,;\end{aligned}}$

ce qui donnera, en posant $x'\pm t'{\sqrt {c}}$ au lieu de $x$ dans les exposants,

${\begin{aligned}z'=&{\frac {1}{4}}\left[\mathrm {Z} ^{\left(x'+t'{\sqrt {c}}-t{\sqrt {c}}\right)}+\mathrm {Z} ^{\left(x'-t'{\sqrt {c}}-t{\sqrt {c}}\right)}\right]\\&-{\frac {1}{4{\sqrt {c}}}}\left[\left(\int \mathrm {U} dx\right)^{\left(x'+t'{\sqrt {c}}-t{\sqrt {c}}\right)}+\left(\int \mathrm {U} dx\right)^{\left(x'-t'{\sqrt {c}}-t{\sqrt {c}}\right)}\right]\end{aligned}}$