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et moindre que la distance du point $\mathrm {Q}$ au même point $\mathrm {A} ,$ qui est toujours l’origine des abscisses, quoique placé à une distance infinie. Examinons séparément les deux cas de $x+t{\sqrt {c}}$ et de $x-t{\sqrt {c}}.$

Soit $p$ la distance entre le point $\mathrm {A}$ et le point $\mathrm {P} ,$ et soit $x=p+z,$ $z$ sera une nouvelle abscisse qui aura son origine en $\mathrm {P} .$ Posons maintenant en premier lieu

$p+z-t{\sqrt {c}}=p,$

on aura

$z=t{\sqrt {c}}\,;$

posons ensuite

$p+z-t{\sqrt {c}}=p+\mathrm {PQ} ,$

on aura

$z=\mathrm {PQ} +t{\sqrt {c}}.$

Par là on peut avoir les limites de l’agitation des particules dans le temps $t,$ en tant qu’elle résulte des termes dépendant de l’expression $x-t{\sqrt {c}}\,;$ car il ne faut que prendre sur la ligne $\mathrm {PQ}$ les points $\mathrm {P} '$ et $\mathrm {Q} '$ tels que $\mathrm {PP} '=t{\sqrt {c}}$ et $\mathrm {P'Q'=PQ} ,$ et la portion $\mathrm {P'Q'}$ de la fibre sera la seule où cette agitation aura lieu. On trouvera de la même manière les limites de l’agitation des particules qui dépend de la valeur de $x+t{\sqrt {c}}\,;$ car, en faisant

$p+z+t{\sqrt {c}}=p\quad {\text{et}}\quad p+z+t{\sqrt {c}}=p+\mathrm {PQ} ,$

on a deux valeurs de $z,$ savoir

$z=-t{\sqrt {c}}\quad {\text{et}}\quad z=\mathrm {PQ} -t{\sqrt {c}}.$

On prendra donc de nouveau, sur la même ligne prolongée du côté opposé, deux autres points ${\grave {\,}}\mathrm {P}$ et ${\grave {\,}}\mathrm {Q}$ tels, que $\mathrm {P\,{\grave {\,}}P} =t{\sqrt {c}}$ et $\mathrm {P\,{\grave {\,}}Q=P\,{\grave {\,}}P-PQ} ,$ c’est-à-dire que $\mathrm {{\grave {\,}}P\,{\grave {\,}}Q=PQ} ,$ et tous les mouvements, dont la détermination dépendra de la valeur de $x+t{\sqrt {c}},$ seront renfermés dans ce dernier espace $\mathrm {{\grave {\,}}P\,{\grave {\,}}Q} .$

De ce qu’on vient de démontrer il s’ensuit que la pulsion primitive, .