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que $\mathrm {X} ,$ et l’on aura, $\mathrm {E}$ étant constant,

$-\mathrm {E} \left({\frac {d^{2}x}{d\mathrm {X} ^{2}}}+{\frac {d^{2}y}{d\mathrm {X} d\mathrm {Y} }}+{\frac {d^{2}\mathrm {Z} }{d\mathrm {X} d\mathrm {Z} }}\right)d\mathrm {X}$

pour la différence d’élasticité de deux particules infiniment voisines et placées dans la direction de la ligne $X\,;$ donc, si l’on considère une autre particule intermédiaire à celles-ci, et qui leur soit contiguë par tous les points des deux faces opposées d\mathrm Yd\mathrm Z, il est clair que cette particule sera repoussée par l’excès de l’élasticité de la particule antérieure sur celle de la particule postérieure avec une force qui sera exprimée par

$-\mathrm {E} \left({\frac {d^{2}x}{d\mathrm {X} ^{2}}}+{\frac {d^{2}y}{d\mathrm {X} d\mathrm {Y} }}+{\frac {d^{2}z}{d\mathrm {X} d\mathrm {Z} }}\right)d\mathrm {X} d\mathrm {Y} d\mathrm {Z} .$

Cette force, divisée par la masse à mouvoir, qui est ici (en posant $\mathrm {D}$ pour la densité naturelle du fluide) $\mathrm {D} d\mathrm {X} d\mathrm {Y} d\mathrm {Z} ,$ sera donc $-{\frac {\mathrm {T} ^{2}}{2h}}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},$ $h$ étant l’espace qu’un corps pesant parcourt dans le temps $\mathrm {T} \,;$ d’où l’on aura l’équation

${\frac {\mathrm {T} ^{2}}{2h}}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=\mathrm {\frac {E}{D}} \left({\frac {d^{2}x}{d\mathrm {X} ^{2}}}+{\frac {d^{2}y}{d\mathrm {X} d\mathrm {Y} }}+{\frac {d^{2}z}{d\mathrm {X} d\mathrm {Z} }}\right).$

On trouvera de même, par un semblable raisonnement, les deux autres équations

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {T} ^{2}}{2h}}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=&\mathrm {\frac {E}{D}} \left({\frac {d^{2}y}{d\mathrm {Y} ^{2}}}+{\frac {d^{2}x}{d\mathrm {Y} d\mathrm {X} }}+{\frac {d^{2}z}{d\mathrm {Y} d\mathrm {Z} }}\right),\\{\frac {\mathrm {T} ^{2}}{2h}}{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=&\mathrm {\frac {E}{D}} \left({\frac {d^{2}z}{d\mathrm {Z} ^{2}}}+{\frac {d^{2}x}{d\mathrm {Z} d\mathrm {X} }}+{\frac {d^{2}y}{d\mathrm {Z} d\mathrm {Y} }}\right).\end{aligned}}$

Il est visible que ces trois équations s’accordent avec celles de M. Euler, en posant, selon les hypothèses de cet Auteur, $h=g,\ \mathrm {\frac {E}{D}} =h,\ \mathrm {T} =1,$ et substituant $p,q$ et $r$ pour $x,y$ et $z.$

11. Au reste, ces formules sont fondées sur l’hypothèse que l’élasticité de l’air soit proportionnelle à sa densité ; mais il n’est pas difficile de les étendre à telle autre hypothèse qu’on voudra.

Pour embrasser la question dans toute la généralité possible, supposons que l’élasticité de l’air soit comme une fonction quelconque de la