différentes couches fussent de niveau ; Lagrange fait voir que les équations de d’Alembert ne sont elles-mêmes que celles des couches de niveau.
En combattant d’Alembert avec tous les égards dus à un Géomètre de cet ordre, il emploie souvent de fort beaux théorèmes qu’il doit à son adversaire ; d’Alembert, de son côté, ajoute aux recherches de Lagrange. « Votre problème m’a paru si beau, lui écrivait-il, que j’en ai cherché une autre solution ; j’ai trouvé une méthode plus simple pour arriver à votre élégante formule. » Ces exemples, qu’il serait aisé de multiplier, prouvent avec quelle aménité correspondaient ces rivaux célèbres qui, se mesurant sans cesse, vaincus comme vainqueurs, trouvaient à chaque instant, dans leurs discussions mêmes, des raisons pour s’estimer davantage, et ménageaient à leur antagoniste les occasions qui devaient le conduire à de nouveaux triomphes.
L’Académie des Sciences de Paris avait proposé pour le sujet d’un de ses prix la théorie de la libration de la Lune, c’est-à-dire qu’elle demandait la cause qui fait que la Lune, en tournant autour de la Terre, lui montre toujours cependant la même face, à la réserve de quelques variations observées par les Astronomes et dont Cassini Ier avait fort bien expliqué le mécanisme. Il s’agissait de trouver les moyens de calculer ces phénomènes et de les déduire analytiquement du principe de la gravitation universelle. Un pareil choix était un appel au génie de Lagrange, une occasion qui lui était offerte d’appliquer ses principes et ses découvertes analytiques. L’attente de d’Alembert ne fut point trompée ; la pièce de Lagrange est un de ses plus beaux titres de gloire ; on y voit les premiers développements de ses idées et le germe de la Mécanique analytique. D’Alembert lui écrivait : J’ai lu avec autant
