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Jusqu’ici cette analyse est parfaitement d’accord avec celle du Chapitre cité de mes Recherches ; mais elle en diffère entièrement dans la suite, où il s’agit de tirer les valeurs de $z$ et de $u.$

Comme il est nécessaire que nos dernières formules soient vérifiées, quelque valeur qu’on donne à $k,$ parmi le nombre infini de celles qu’on a trouvées, il est visible qu’il faut chasser cette même quantité $k$ à l’aide d’autant d’équations particulières qu’il y a de différentes fonctions de $k.$ C’est à quoi nous sommes parvenu en employant différentes transformations et réductions, dont on a rendu compte dans le cours de cette analyse, et qui me paraissent les seules capables de remplir l’objet proposé.

La construction qu’on a donnée ensuite des valeurs de $z$ et de $u$ par le moyen des courbes génératrices, et la manière de continuer ces courbes à l’infini de part et d’autre, dépendent d’une considération intime sur la nature de nos formules. Il est vrai que les principes d’où l’on a tiré cette construction pourraient paraître trop recherchés, mais elle n’en est pas moins démonstrative et certaine ; ce n’a été que pour conserver une entière rigueur que j’ai été obligé d’avoir recours à de tels principes ; car, dès que l’on aura démontré dans deux ou trois problèmes de cette sorte, que la nature des courbes génératrices est la même que celle qu’on trouve en supposant ces courbes représentées par une fonction régulière et continue, ainsi que l’a fait M. d’Alembert dans sa solution du problème des vibrations des cordes, on sera assez fondé à appliquer la méthode de ces fonctions aux cas mêmes où l’on voudra supposer qu’elles n’aient point lieu.

9. Après tout ce que nous venons d’expliquer, il ne sera pas difficile de déterminer le degré de généralité dont notre méthode est susceptible. On verra premièrement qu’elle ne pourra réussir à moins que l’indéterminée $z$ et ses différences ne se trouvent que sous une forme linéaire, et, de plus, qu’elles ne soient point mêlées avec la variable $t\,;$ lorsque ces conditions seront observées, quoique les différentielles de $z$ montent à un degré plus haut que le second, et qu’il y ait même un terme sans $z$ qui soit une fonction quelconque de $t$ et de $x,$ on pourra toujours se ser-