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et des différences ; d’où il suit qu’on n’a point à craindre d’introduire par là dans notre calcul aucune loi de continuité entre les différentes valeurs de $z.$

Après cela, je détermine les valeurs de l’indéterminée $\mathrm {M}$ par la comparaison des coefficients des termes correspondants $z$ et ${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}\,;$ et je trouve pour cela une équation différentielle du deuxième degré, qui contient une nouvelle indéterminée constante $k,$ et dont l’intégration entraîne encore dans la valeur de $\mathrm {M}$ deux autres constantes arbitraires. Je détermine ces constantes à être telles, que $\mathrm {M}$ s’évanouisse lorsque $x=0$ et lorsque $x=a,$ puisque, les valeurs de $z$ étant nulles dans ces deux points, les $\mathrm {M}$ qui les multiplient ne doivent non plus avoir des valeurs réelles ; par ce moyen, on fait disparaître de l’équation intégrale les termes qui sont absolument algébriques, et qui auraient d’ailleurs empêché le reste des opérations. Ces deux conditions laissent encore indéterminée la valeur d’une constante par laquelle toute l’expression de $\mathrm {M}$ est multipliée ; mais cette constante s’évanouit ensuite d’elle-même par la division. À l’égard de la constante $k,$ on trouve une infinité de valeurs différentes qui toutes lui conviennent également, et dont le nombre répond à celui des équations particulières qu’on résout à la fois. C’est de ce nombre infini de valeurs de $k$ que dépend ensuite la détermination de toutes les valeurs de $z.$

De là je passe à l’intégration actuelle de notre équation formée par l’addition de toutes les équations particulières. Cette intégration ne regarde que la variabilité de $t,$ et elle s’achève selon les méthodes connues du calcul intégral, puisque ici la loi de continuité a lieu. Après cela je substitue la valeur de $\mathrm {M} ,$ et il en résulte une équation assez simple qui renferme toutes les valeurs de $z$ pour chaque point mobile dans tous les instants du mouvement, avec les valeurs particulières des mêmes $z$ et des vitesses $u$ dans le premier instant ; valeurs qu’on suppose données à volonté, et qui ne sont point réglées par aucune loi de continuité. Je trouve en même temps une formule semblable pour les vitesses $u$ de tous les points dans un temps quelconque.