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nées sont exprimées par $\sin \left(x{\sqrt {-k}}\right),$ la question se réduit à déterminer la valeur de $\sin \left(x{\sqrt {-k}}\right)$ lorsque $x$ est négatif et lorsque $x$ est plus grand que $a\,;$ soit donc en premier lieu $x$ négatif : on aura, comme on le sait,

$\sin \left(-x{\sqrt {-k}}\right)=-\sin \left(x{\sqrt {-k}}\right),$

c’est-à-dire que la fonction donnée de $x$ ne recevra point d’autre changement, sinon qu’elle deviendra négative. Soit ensuite $x>a,$ mais $<2a,$ savoir $x=2a-z,$ on aura

$\sin \left(x{\sqrt {-k}}\right)=\sin \left[(2a-z){\sqrt {-k}}\right]=\sin \left(2a{\sqrt {-k}}-z{\sqrt {-k}}\right).$

Or, par la valeur déterminée ci-dessus de ${\sqrt {-k}},$ $2a{\sqrt {-k}}=\nu \varpi ,$ et par les règles connues de la Trigonométrie,

$\sin \left(\nu \varpi -z{\sqrt {-k}}\right)=\sin \left(-z{\sqrt {-k}}\right)=-\sin \left(z{\sqrt {-k}}\right)\,;$

donc, puisque $z=2a-x$ on aura, dans ce cas,

$\sin \left(x{\sqrt {-k}}\right)=\sin \left[(2a-x){\sqrt {-k}}\right].$

De là il s’ensuit :

1^o Que pour avoir la continuation $\mathrm {A''\,{\grave {\,}}\!{\grave {\,}}\!S}$ du côté des abscisses négatives de la courbe $\mathrm {A''S''B''} ,$ on n’aura qu’à renverser la même courbe au-dessous de l’axe, en sorte que le point $\mathrm {A} ''$ demeure immobile ;

2^o Que pour avoir la continuation $\mathrm {B'\,{\grave {\,}}\!S}$ du côté des abscisses plus grandes que $a$ dans la courbe $\mathrm {A'S'B'}$, il faudra aussi renverser cette courbe de la même façon que l’autre, mais en prenant ici le point $\mathrm {B} '$ pour fixe.

Je dis maintenant que la portion de courbe $\mathrm {A''\,{\grave {\,}}\!{\grave {\,}}\!S}$ est la même que la portion $\mathrm {A'S'}$, ainsi que la portion $\mathrm {B'\,{\grave {\,}}\!S}$ est la même que la portion $\mathrm {B''S''}$, et que par conséquent, au lieu des deux courbes $\mathrm {S'B'\,{\grave {\,}}\!S}$ et $\mathrm {S''A''\,{\grave {\,}}\!{\grave {\,}}\!S} ,$ on peut substituer les deux autres $\mathrm {A'S'B'}$ et $\mathrm {A''S''B''}$ lorsqu’il ne s’agit que d’avoir la somme des mêmes parties. Je dis ensuite que la somme des aires formées des produits des ordonnées de l’une et de l’autre courbe $\mathrm {S'B'\,{\grave {\,}}\!S}$ et $\mathrm {S''A''\,{\grave {\,}}\!{\grave {\,}}\!S}$ par celles de la courbe $\mathrm {ANB}$ sera égale à la somme des aires qu’on pourra former de la même façon par les ordonnées