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la courbe $\mathrm {ANB} ,$ à l’ordonnée correspondante $\mathrm {MN}$ et à la quantité constante ${\sqrt {c}},$ et que l’ordonnée $\mathrm {M} q$ de la seconde soit égale à l’aire $\mathrm {AQM}$ de la courbe $\mathrm {AQB} ,$ divisée par la même quantité ${\sqrt {c}}$.

Ces quatre courbes ainsi données, si l’on cherche les valeurs de $z$ et de $u$ qui répondent à une abscisse quelconque $x=\mathrm {AM}$ et à un temps quelconque $t,$ on n’aura qu’à prendre, de part et d’autre des points $\mathrm {M} ,$ les points $\mathrm {M} '$ et ${\grave {\,}}\mathrm {M}$ éloignés par des intervalles $\mathrm {MM} '$ et ${\grave {\,}}\mathrm {MM}$ égaux à $t{\sqrt {c}},$ et l’on aura

${\begin{aligned}z=&{\frac {\mathrm {M'N'+{\grave {\,}}M\,{\grave {\,}}N+M'} q-{\grave {\,}}\mathrm {M} \,{\grave {\,}}q}{2}},\\u=&{\frac {\mathrm {M'Q'+{\grave {\,}}M\,{\grave {\,}}Q+M'} n-{\grave {\,}}\mathrm {M} \,{\grave {\,}}n}{2}}.\end{aligned}}$

Quelque générale que paraisse cette construction que nous venons de trouver, elle ne l’est cependant pas tout à fait, car il y a une infinité de cas où elle ne saurait avoir lieu ; c’est ce qui arrivera toutes les fois que les points ${\grave {\,}}\mathrm {M}$ et $\mathrm {M} '$ tomberont au delà de $\mathrm {A}$ et de $\mathrm {B} .$

Pour voir ce qu’il faudra faire dans ces cas, et comment les courbes données pourront être continuées de part et d’autre, il est nécessaire de reprendre les dernières formules intégrales d’où l’on a tiré les valeurs de $z$ et de $u,$ et de les examiner avec attention ; pour mieux y réussir nous réduirons ces formules à des constructions géométriques.

Soit imaginée la ligne $\mathrm {ARB}$ (fig. 7) qui soit le lieu géométrique des

Fig. 7

valeurs de $z$ pour tous les points de l’axe $\mathrm {AB} ,$ et soit décrite sur le même axe la courbe $\mathrm {ASB}$ qui ait à chaque abscisse $x$ l’ordonnée $\sin \left(x{\sqrt {-k}}\right).$ Il est manifeste que si l’on fait les produits des ordonnées correspondantes de ces deux courbes, l’aire d’une troisième courbe qui aura ces produits pour ordonnées sera la valeur de l’intégrale $\int z\sin \left(x{\sqrt {-1}}\right)dx.$