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l’expression

$\int \mathrm {U} \sin \left(x{\sqrt {-k}}\right)dx$

dans celle-ci

$\sin \left(x{\sqrt {-k}}\right)\int \mathrm {U} dx-{\sqrt {-k}}\int \left[\cos \left(x{\sqrt {-k}}\right)\int \mathrm {U} dx\right]dx.$

Je remarque maintenant que la valeur de $\sin \left(x{\sqrt {-k}}\right)$ devient nulle dans les deux cas de $x=0$ et de $x=a,$ d’où il suit que puisque les formules intégrales que nous manions ici doivent être prises pour toute l’étendue de $x,$ depuis $0$ jusqu’à $a,$ on aura plus simplement

$\int \mathrm {U} \sin \left(x{\sqrt {-k}}\right)dx=-{\sqrt {-k}}\int \left[\cos \left(x{\sqrt {-k}}\right)\int \mathrm {U} dx\right]dx.$

Par une opération contraire, on trouvera ensuite

$\int \mathrm {Z} \sin \left(x{\sqrt {-k}}\right)dx=-{\frac {\mathrm {Z} \cos \left(x{\sqrt {-k}}\right)}{\sqrt {-k}}}+{\frac {1}{\sqrt {-k}}}\int {\frac {d\mathrm {Z} }{dx}}\cos \left(x{\sqrt {-k}}\right)dx\,;$

et puisque $Z=0$ lorsque $x=0$ et $x=a,$ par l’hypothèse du problème, on aura pour notre cas

$\int \mathrm {Z} \sin \left(x{\sqrt {-k}}\right)dx={\frac {1}{\sqrt {-k}}}\int {\frac {d\mathrm {Z} }{dx}}\cos \left(x{\sqrt {-k}}\right)dx.$

Ces valeurs substituées, il en résulte

${\begin{aligned}\int z\sin \left(x{\sqrt {-k}}\right)dx=&\cos \left(t{\sqrt {-ck}}\right)\int \mathrm {Z} \sin \left(x{\sqrt {-k}}\right)dx\\&-{\frac {\sin \left(t{\sqrt {-ck}}\right)}{\sqrt {c}}}\int \left(\int \mathrm {U} dx\right)\cos \left(x{\sqrt {-k}}\right)dx.\\\int u\sin \left(x{\sqrt {-k}}\right)dx=&\cos \left(t{\sqrt {-ck}}\right)\int \mathrm {U} \sin \left(x{\sqrt {-k}}\right)dx\\&-{\sqrt {c}}\sin \left(t{\sqrt {-ck}}\right)\int {\frac {d\mathrm {Z} }{dx}}\cos \left(x{\sqrt {-k}}\right)dx.\end{aligned}}$

Avant d’aller plus loin je remarque que comme on aura occasion dans la suite de comparer des valeurs de $\mathrm {Z}$ et de $\mathrm {U}$ avec des valeurs de $z$ et $u$ qui ne répondent pas aux mêmes $x,$ pour ne pas se méprendre dans ces opé-