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Or, par supposition,

$s=\int z\mathrm {M} dx\quad {\text{et}}\quad r={\frac {ds}{dt}}=\int {\frac {dz}{dt}}\mathrm {M} dx,$

ou bien, puisque ${\frac {dz}{dt}}$ exprime la vitesse qui répond à l’espace $z$ et au temps $t,$ si on dénote cette vitesse par $u,$ on a

$r=\int u\mathrm {M} dx.$

Pour avoir de même les valeurs de $\mathrm {S}$ et de $\mathrm {R} ,$ supposons que $\mathrm {Z}$ soit en général la valeur de $z$ et $\mathrm {U}$ celle de $u$ au commencement du mouvement, lorsque $t=0,$ on aura

$\mathrm {S} =\int \mathrm {ZM} dx\quad {\text{et}}\quad \mathrm {R} =\int \mathrm {UM} dx\,;$

substituant ces valeurs, on changera les équations précédentes en celles-ci :

${\begin{aligned}\int z\mathrm {M} dx=&\cos \left(t{\sqrt {-ck}}\right)\int \mathrm {ZM} dx+{\frac {\sin \left(t{\sqrt {-ck}}\right)}{\sqrt {-ck}}}\int \mathrm {UM} dx,\\\int u\mathrm {M} dx=&\cos \left(t{\sqrt {-ck}}\right)\int \mathrm {UM} dx-{\sqrt {-ck}}\sin \left(t{\sqrt {-ck}}\right)\int \mathrm {ZM} dx.\end{aligned}}$

Il ne nous reste plus qu’à trouver la valeur de $\mathrm {M}$ par la résolution de l’équation

${\frac {d^{2}\mathrm {M} }{dx^{2}}}=k\mathrm {M} .$

qu’on intégrera par la même méthode que nous avons pratiquée ci-dessus ; prenant deux constantes quelconques $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B} ,$ on trouvera aisément que la valeur de $\mathrm {M}$ est en général $\mathrm {A} e^{x{\sqrt {k}}}+\mathrm {B} e^{-x{\sqrt {k}}}\,;$ or $\mathrm {M}$ doit premièrement être égal à zéro lorsque $x=0,$ ce qui donne $\mathrm {A+B} =0$ et $\mathrm {B=-A} \,;$ par conséquent,

$\mathrm {M=A} \left(e^{x{\sqrt {k}}}-e^{-x{\sqrt {k}}}\right).$

Changeons la constante $\mathrm {A}$ et supposons-la divisée par $2{\sqrt {-1}},$ on aura