Page:Lagrange - Œuvres (1867) vol. 1.djvu/221

Soit encore $\int z\mathrm {M} dx=s\,;$ prenant la différence de part et d’autre dans la supposition que le seul $t$ soit variable, on a, à cause de $\mathrm {M} =$ une fonction de $x,$

$\int {\frac {dz}{dt}}\mathrm {M} dx={\frac {ds}{dt}},$

et, différentiant une seconde fois,

$\int {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}\mathrm {M} dx={\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}\,;$

ces valeurs substituées dans la dernière équation intégrale, il en résulte

${\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}=cks,$

équation qu’il faut maintenant intégrer en ne regardant que le temps $t$ comme variable. Nous avons donc deux équations différentielles à intégrer, dont l’une regarde simplement la variabilité de $x$ et l’autre celle de $t,$ ce qui fait qu’elles rentrent dans la classe ordinaire des équations différentielles à deux changeantes.

Commençons par l’équation ${\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}=cks,$ et faisons usage de la méthode inventée par M. d’Alembert pour ces sortes d’équations.

Soit supposé ${\frac {ds}{dt}}=r,$ on aura

${\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}={\frac {dr}{dt}},$

et l’équation donnée se changera en

${\frac {dr}{dt}}=cks\,;$

qu’on la multiplie par un coefficient quelconque $\mu ,$ et qu’on la joigne avec celle qu’on a faite par hypothèse, on aura

${\frac {ds+\mu dr}{dt}}=\mu cks+r=\mu ck\left(s+{\frac {1}{\mu ck}}r\right),$