Soit encore prenant la différence de part et d’autre dans la supposition que le seul soit variable, on a, à cause de une fonction de
et, différentiant une seconde fois,
ces valeurs substituées dans la dernière équation intégrale, il en résulte
équation qu’il faut maintenant intégrer en ne regardant que le temps comme variable. Nous avons donc deux équations différentielles à intégrer, dont l’une regarde simplement la variabilité de et l’autre celle de ce qui fait qu’elles rentrent dans la classe ordinaire des équations différentielles à deux changeantes.
Commençons par l’équation et faisons usage de la méthode inventée par M. d’Alembert pour ces sortes d’équations.
Soit supposé on aura
et l’équation donnée se changera en
qu’on la multiplie par un coefficient quelconque et qu’on la joigne avec celle qu’on a faite par hypothèse, on aura