variable
peut se transformer par les règles connues en
![{\displaystyle {\frac {dz}{dx}}\mathrm {M} -\int {\frac {dz}{dx}}{\frac {d\mathrm {M} }{dx}}dx\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7a24ac9ea2f70bc0994bf876832e6e4a6a9f9c6)
cette dernière intégrale se change de même en
![{\displaystyle z{\frac {d\mathrm {M} }{dx}}-\int z{\frac {d^{2}\mathrm {M} }{dx^{2}}}dx\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45a0df49141ffa49074d30b6918743d06dbdb991)
de sorte qu’on aura
![{\displaystyle \int {\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}\mathrm {M} dx={\frac {dz}{dx}}\mathrm {M} -z{\frac {d\mathrm {M} }{dx}}+\int z{\frac {d^{2}\mathrm {M} }{dx^{2}}}dx\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66e099c640ffc7d5977643d1faebe6f192cada4b)
or, puisque
est égal à zéro, lorsque
si l’on suppose que
le soit aussi, il faudra que
évanouisse de même dans ce point ; mais, par hypothèse, on a ici
donc il suffira que l’on ait
ou bien
lorsque ![{\displaystyle x=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71320d636c7a43546bf4e94edb94649c5b2e82b9)
Par là notre équation intégrale deviendra
![{\displaystyle \int {\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}\mathrm {M} dx=c\left({\frac {dz}{dx}}\mathrm {M} -z{\frac {d\mathrm {M} }{dx}}\right)+c\int z{\frac {d^{2}\mathrm {M} }{dx^{2}}}dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/686527d00df216a4d8794c641546c5455a335208)
Posons
et puisque
s’évanouit de nouveau par hypothèse, faisons disparaître de même l’autre terme
par une valeur convenable de ![{\displaystyle \mathrm {M} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1688d03c31d091e6090c3c8e5e0f47a4c2802191)
Il ne restera après cela que la simple équation
![{\displaystyle \int {\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}\mathrm {M} dx=c\int z{\frac {d^{2}\mathrm {M} }{dx^{2}}}dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bd8dec2d855abd6c17dd30591cf026489942ef8)
Soit supposé
désignant une constante indéterminée dont on trouvera la valeur au moyen des conditions qu’on a déjà attachées à la quantité
on aura
![{\displaystyle \int {\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}\mathrm {M} dx=kc\int z\mathrm {M} dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0bdbda5ea2e644496531e3354f901d272f3fcab)