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car tous les termes $\mathrm {P_{1},P_{2},P_{3}} ,\ldots$ évanouissent par supposition, et les autres $\mathrm {Q_{1},Q_{2},Q_{3}} ,\ldots$ se réduisent à $c\sin {\frac {\mathrm {X} \varpi }{2a}},c\sin {\frac {2\mathrm {X} \varpi }{2a}},c\sin {\frac {3\mathrm {X} \varpi }{2a}},\ldots .$ Qu’on change maintenant le produit de $\sin {\frac {\mathrm {X} \varpi }{2a}}$ par ${\frac {t\mathrm {H} \varpi }{2\mathrm {T} }},$ ainsi que les produits des sinus et des cosinus des autres angles multiples en de simples sinus, et l’équation ci-dessus deviendra

${\begin{aligned}u={\frac {c}{m}}\left[\sin {\frac {x\varpi }{2a}}\sin \left({\frac {\mathrm {X} }{a}}+{\frac {\mathrm {H} t}{\mathrm {T} }}\right){\frac {\varpi }{2}}\right.&+\sin {\frac {2x\varpi }{2a}}\sin \left({\frac {\mathrm {X} }{a}}+{\frac {\mathrm {H} t}{\mathrm {T} }}\right){\frac {2\varpi }{2}}\\&+\left.\sin {\frac {3x\varpi }{2a}}\sin \left({\frac {\mathrm {X} }{a}}+{\frac {\mathrm {H} t}{\mathrm {T} }}\right){\frac {3\varpi }{2}}+\ldots \right]\\+\left[\sin {\frac {x\varpi }{2a}}\sin \left({\frac {\mathrm {X} }{a}}-{\frac {\mathrm {H} t}{\mathrm {T} }}\right){\frac {\varpi }{2}}\right.&+\sin {\frac {2x\varpi }{2a}}\sin \left({\frac {\mathrm {X} }{a}}-{\frac {\mathrm {H} t}{\mathrm {T} }}\right){\frac {2\varpi }{2}}\\&+\left.\sin {\frac {3x\varpi }{2a}}\sin \left({\frac {\mathrm {X} }{a}}-{\frac {\mathrm {H} t}{\mathrm {T} }}\right){\frac {3\varpi }{2}}+\ldots \right].\\\end{aligned}}$

On démontrera ici, de la même manière que nous avons fait (38) suides formules semblables, que ces deux suites infinies sont toujours égales à zéro, excepté dans le cas où ${\frac {\mathrm {X} }{a}}+{\frac {\mathrm {H} t}{\mathrm {T} }}$ dans la première, et ${\frac {\mathrm {X} }{a}}-{\frac {\mathrm {H} t}{\mathrm {T} }}$ dans la seconde, deviennent égaux à $\pm \left({\frac {x}{a}}+2s\right),$ $s$ dénotant un nombre quelconque entier positif ou négatif ; d’où il s’ensuit que la vitesse $u$ dans chaque particule ne sera, pour ainsi dire, qu’instantanée, et qu’elle n’obtiendra jamais aucune valeur réelle que lorsque

${\frac {\mathrm {X} }{a}}\pm {\frac {\mathrm {H} t}{\mathrm {T} }}=\pm \left({\frac {x}{a}}+2s\right),$

quels que soient les signes qu’on y veuille prendre.

Cette équation contient, comme on le voit, un certain rapport entre les espaces $x$ et les temps $t,$ les autres quantités $\mathrm {X} ,a,\mathrm {H,T,S}$ demeurant constantes. Elle contiendra donc la loi générale suivant laquelle se fait la propagation du son.

55. Pour développer cette importante matière autant qu’il est possible, imaginons que la particule $\mathrm {D} ,$ qui reçoit son petit mouvement