49. Lorsqu’une corde est en vibration, il n’y a généralement parlant que les deux bouts qui restent toujours immobiles ; cependant, si l’on fait attention aux cas particuliers qu’on vient d’examiner, on voit clairement que tous les points où la figure initiale de la corde coupe l’axe doivent nécessairement demeurer en repos, puisqu’il y a de part et d’autre des branches semblables situées alternativement au-dessus et audessous de l’axe. Voyons donc s’il ne pourrait pas y avoir d’autres points qui fussent revêtus des mêmes propriétés.
Qu’on se représente pour cela une branche entière de la courbe génératrice pour la corde et qu’on suppose qu’un de ses points quelconque doive rester immobile (fig. 14). Il est d’abord évident
qu’elle devra couper l’axe dans ce même point ; il faudra ensuite que la partie de la courbe soit égale et semblable à la partie afin que la demi-somme des ordonnées également distantes de part et d’autre soit toujours nulle, d’où il s’ensuit qu’à moins que le point ne soit à la moitié de l’axe le point tombera hors du point et ainsi la courbe cherchée coupera toujours l’axe en deux points et Elle sera par conséquent composée de trois parties et dont les deux premières sont égales par supposition, et la troisième est encore arbitraire. Or je dis que la courbe doit avoir toutes ces parties égales, semblables et situées alternativement au-dessus et au-dessous de l’axe Pour s’en convaincre, qu’on réfléchisse que, puisque les branches qui se trouvent situées de part et d’autre des deux points et doivent être semblables et égales dans toute la courbe génératrice engendrée par la description réitérée de celle-ci, il faut que cette courbe ait toutes ses parties de même nature que celle qui est comprise entre les points et d’où il suit que la partie de l’axe ne peut être qu’égale à la partie ou double, ou triple, etc., ou encore la moitié, ou le
