mais lorsque
le dénominateur devient aussi égal à zéro : c’est pourquoi elle reçoit une valeur donnée qu’on trouvera par la différentiation du numérateur et du dénominateur. On a donc en différentiant
![{\displaystyle {\frac {(m+1)\sin(m+1)x-m\sin mx}{2\sin x}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e06e0141ff86e6809fb3b1cc41733e2c3c45a42)
qui se réduit de nouveau à
par la supposition de
qu’on différentie une seconde fois, il viendra
![{\displaystyle {\frac {(m+1)^{2}\cos(m+1)x-m^{2}\cos mx}{2\cos x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcfdeec0994c4210561daebadc7ea5194f0949ed)
et faisant ![{\displaystyle x=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d54be06efe9f69b9bfb720190b5f29c76944a45b)
![{\displaystyle {\frac {(m+1)^{2}-m^{2}}{2}}=m+{\frac {1}{2}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/562a89309856cb4215e710814227ca5053ff1713)
donc la valeur de la série est dans ce cas
![{\displaystyle m+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}=m,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d92a21c965203b010cc64bbd583211d49b55dc9d)
précisément comme on l’a vu plus haut.
Au reste, par la méthode de sommer les suites des cosinus ou sinus, que nous venons d’expliquer, on trouvera que la suite finie
![{\displaystyle \sin \varphi \sin \theta +\sin 2\varphi \sin 2\theta +\sin 3\varphi \sin 3\theta +\ldots +\sin(m-1)\varphi \sin(m-1)\theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/016357b73702f4d18d42a8cef380bbd2e3fd8885)
est égale à
![{\displaystyle {\frac {\sin m\varphi \sin(m-1)\theta -\sin(m-1)\varphi \sin m\theta }{2(\cos \varphi -\cos \theta )}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54dddaca050d57bcc607b22ee4404bb2f2ff184c)
ce qui convient avec ce qu’on a trouvé (38) en faisant
et
et supposant
un nombre entier quelconque.
45. Nous avons enseigné (39) à construire l’ordonnée
et la vitesse
l’une dans le cas où les vitesses initiales
sont égales à zéro, et l’autre dans le cas où les premières ordonnées
sont égales à zéro ; cependant, si l’on voulait une construction générale pour tous les cas possibles, on