où il est à remarquer que les intégrations doivent se faire en supposant
et
variables, et
et
constantes.
38. Si on réfléchit maintenant sur ces formules, on s’apercevra que la première partie de l’expression de
et la seconde partie de l’expression de
qui ne diffèrent entre elles que par rapport aux quantités
et
seront sommables au moyen de la formule trouvée (25). Qu’on suppose donc, pour simplifier le calcul, que les quantités
s’évanouissent dans la formule de
et les quantités
dans celle de
ce qui réduit le problème aux seuls cas considérés jusqu’à présent dans les cordes vibrantes ; et on pourra se contenter de faire le calcul pour la valeur de
puisque, en changeant simplement les
en
on obtiendra tout de suite celle de
Je ramène d’abord l’expression
à celle-ci
![{\displaystyle {\frac {\sin {\cfrac {\varpi }{2}}\left({\cfrac {x}{a}}+{\cfrac {\mathrm {H} t}{\mathrm {T} }}\right)+\sin {\cfrac {\varpi }{2}}\left({\cfrac {x}{a}}-{\cfrac {\mathrm {H} t}{\mathrm {T} }}\right)}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d14bd1decfd06db70e2bb8823a74791a99719a31)
et en opérant de la même manière sur toutes les autres je change la formule en
![{\displaystyle {\begin{aligned}y={\frac {1}{a}}\int dx\mathrm {Y} \left[\sin {\frac {\varpi \mathrm {X} }{2a}}\sin {\frac {\varpi }{2}}\left({\frac {x}{a}}+{\frac {\mathrm {H} t}{\mathrm {T} }}\right)\right.&+\sin {\frac {2\varpi \mathrm {X} }{2a}}\sin {\frac {2\varpi }{2}}\left({\frac {x}{a}}+{\frac {\mathrm {H} t}{\mathrm {T} }}\right)\\&+\left.\sin {\frac {3\varpi \mathrm {X} }{2a}}\sin {\frac {3\varpi }{2}}\left({\frac {x}{a}}+{\frac {\mathrm {H} t}{\mathrm {T} }}\right)+\ldots \right]\\+{\frac {1}{a}}\int dx\mathrm {Y} \left[\sin {\frac {\varpi \mathrm {X} }{2a}}\sin {\frac {\varpi }{2}}\left({\frac {x}{a}}-{\frac {\mathrm {H} t}{\mathrm {T} }}\right)\right.&+\sin {\frac {2\varpi \mathrm {X} }{2a}}\sin {\frac {2\varpi }{2}}\left({\frac {x}{a}}-{\frac {\mathrm {H} t}{\mathrm {T} }}\right)\\&+\left.\sin {\frac {3\varpi \mathrm {X} }{2a}}\sin {\frac {3\varpi }{2}}\left({\frac {x}{a}}-{\frac {\mathrm {H} t}{\mathrm {T} }}\right)+\ldots \right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9417e469ca1239ce84208bce88b70c595e2b00b5)
Or, si l’on met dans la formule du no 25, au lieu des quantités
leurs valeurs
et qu’on multiplie tout par
on