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Ce problème a été déjà résolu par quelques Géomètres dans le cas d’un nombre de corps déterminé, mais la route qu’ils ont prise les a toujours conduits à des équations d’un degré égal au nombre des corps mobiles, dont il fallait par conséquent chercher les racines dans chaque cas particulier ; je ne crois pas qu’on ait jamais donné pour cela une formule générale, telle que nous venons de la trouver.

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CHAPITRE V.

analyse du cas ou le nombre des corps mobiles est infini.

34. La théorie du mélange des vibrations simples et régulières que nous venons d’établir découle de la forme même des équations trouvées. Or cette forme subsistera toujours, tandis que le nombre des corps mobiles sera fini, savoir, quand $m$ sera un nombre fini ; mais sera-t-il aussi vrai que la supposition de $m$ infini ne défigure pas, pour ainsi dire, l’équation, et n’en altère pas entièrement la forme ? C’est ce que nous allons examiner dans ce Chapitre.

Il est évident qu’en faisant $m=\infty ,$ les angles ${\frac {\varpi }{4m}},{\frac {2\varpi }{4m}},{\frac {3\varpi }{4m}},\ldots$ deviendront infiniment petits, et que leurs sinus ne différeront pas des arcs qui leur appartiennent ; ainsi on aura

$\sin {\frac {\varpi }{4m}}={\frac {\varpi }{4m}},\qquad \sin {\frac {2\varpi }{4m}}={\frac {2\varpi }{4m}},\qquad \sin {\frac {3\varpi }{4m}}={\frac {3\varpi }{4m}},\ldots ,$

donc la formule qui donne la valeur de $y_{\mu }$ se changera en celle-ci

${\begin{aligned}y_{\mu }&={\frac {2}{m}}\mathrm {P} _{1}\sin {\frac {\mu \varpi }{2m}}\ \ \cos {\frac {\varpi t{\sqrt {e}}}{2m}}\\&+{\frac {2}{m}}\mathrm {P} _{2}\sin {\frac {2\mu \varpi }{2m}}\cos {\frac {2\varpi t{\sqrt {e}}}{2m}}\\&+{\frac {2}{m}}\mathrm {P} _{3}\sin {\frac {3\mu \varpi }{2m}}\cos {\frac {3\varpi t{\sqrt {e}}}{2m}}\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+{\frac {4}{\varpi {\sqrt {e}}}}\mathrm {Q} _{1}\sin {\frac {\mu \varpi }{2m}}\sin {\frac {\varpi t{\sqrt {e}}}{2m}}\end{aligned}}$