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d’où

$\mathrm {D} _{m-n}={\frac {\mathrm {L} }{2^{m-2}}}{\frac {\sin {\cfrac {n\mu \varpi }{2m}}}{\sin {\cfrac {\mu \varpi }{2m}}}}\,;$

et posant pour plus de commodité $m-n=s,$

$\mathrm {D} _{s}={\frac {\mathrm {L} }{2^{m-2}}}{\frac {\sin {\cfrac {(m-s)\mu \varpi }{2m}}}{\sin {\cfrac {\mu \varpi }{2m}}}}\,;$

mais

$\sin(m-s){\frac {\mu \varpi }{2m}}=\sin \left({\frac {\mu \varpi }{2}}-{\frac {s\mu \varpi }{2m}}\right)=\pm {\frac {s\mu \varpi }{2m}}$

où le signe $+$ doit être pris toutes les fois que $\mu$ est un nombre impair, et le signe $-$ quand $\mu$ est pair ; on aura donc enfin

$\mathrm {D} _{s}=\pm {\frac {\mathrm {L} }{2^{m-2}}}{\frac {\sin {\cfrac {s\mu \varpi }{2m}}}{\sin {\cfrac {\mu \varpi }{2m}}}},$

et telle est la valeur générale de $\mathrm {D} ,$ d’où dépend la résolution des équations du n^o 23.

26. Reprenons maintenant l’équation du n^o 24, et substituant dans son second membre les valeurs trouvées des quantités $\mathrm {D} ,$ on la réduira d’abord à

$y_{\mu }\left[\mathrm {D} _{1}\sin {\frac {\mu \varpi }{2m}}+\mathrm {D} _{2}\sin {\frac {2\mu \varpi }{2m}}+\mathrm {D} _{3}\sin {\frac {3\mu \varpi }{2m}}+\ldots +\mathrm {D} _{m-1}\sin {\frac {(m-1)\mu \varpi }{2m}}\right]$

$=\pm {\frac {\mathrm {L} }{2^{m-2}\sin {\cfrac {\mu \varpi }{2m}}}}$

$\times \left[\mathrm {S} _{1}\sin {\frac {\mu \varpi }{2m}}+\mathrm {S} _{2}\sin {\frac {2\mu \varpi }{2m}}+\mathrm {S} _{3}\sin {\frac {3\mu \varpi }{2m}}+\ldots +\mathrm {S} _{m-1}\sin {\frac {(m-1)\mu \varpi }{2m}}\right].$

À l’égard du premier membre, on remarquera (25) que

${\begin{aligned}\mathrm {D} _{1}&\sin {\frac {\lambda \varpi }{2m}}+\mathrm {D} _{2}\sin {\frac {2\lambda \varpi }{2m}}+\mathrm {D} _{3}\sin {\frac {3\lambda \varpi }{2m}}+\ldots +\mathrm {D} _{m-1}\sin {\frac {(m-1)\lambda \varpi }{2m}}\\&={\frac {\mathrm {L} }{2^{m-1}}}{\frac {\sin {\cfrac {\lambda \varpi }{2}}}{\cos {\cfrac {\lambda \varpi }{2m}}-\cos {\cfrac {\mu \varpi }{2m}}}}.\end{aligned}}$