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Le théorème déjà cité de M. Cotes nous donne l’équation

${\begin{aligned}p^{2m}-q^{2m}&=\left(p^{2}-q^{2}\right)\left(p^{2}-2pq\cos {\frac {\varpi }{2m}}+q^{2}\right)\left(p^{2}-2pq\cos {\frac {2\varpi }{2m}}+q^{2}\right)\\&\times \left(p^{2}-2pq\cos {\frac {3\varpi }{2m}}+q^{2}\right)\ldots \left[p^{2}-2pq\cos {\frac {(m-1)\varpi }{2m}}+q^{2}\right],\end{aligned}}$

en n’omettant aucun des facteurs intermédiaires ; que l’on compare donc ces facteurs avec ceux de l’équation précédente, en faisant

$p^{2}+q^{2}=\cos {\frac {\lambda \varpi }{2m}},\qquad 2pq=1,$

et l’on aura

${\begin{aligned}p^{2}+2pq+q^{2}=&1+\cos {\frac {\lambda \varpi }{2m}}=2\left(\cos {\frac {\lambda \varpi }{4m}}\right),\\p^{2}-2pq+q^{2}=&\cos {\frac {\lambda \varpi }{2m}}-1=-2\left(\sin {\frac {\lambda \varpi }{4m}}\right),\end{aligned}}$

d’où, en extrayant les racines, il résulte

${\begin{aligned}p+q=&\pm {\sqrt {2}}\cos {\frac {\lambda \varpi }{2m}},\\p-q=&\pm {\sqrt {2}}\sin {\frac {\lambda \varpi }{2m}}{\sqrt {-1}},\end{aligned}}$

et enfin

${\begin{aligned}p=&\pm {\frac {\cos {\cfrac {\lambda \varpi }{4m}}+\sin {\cfrac {\lambda \varpi }{4m}}{\sqrt {-1}}}{\sqrt {2}}},\\q=&\pm {\frac {\cos {\cfrac {\lambda \varpi }{4m}}-\sin {\cfrac {\lambda \varpi }{4m}}{\sqrt {-1}}}{\sqrt {2}}},\\\end{aligned}}$

Par conséquent on aura

${\begin{aligned}p^{2}=&{\frac {1}{2}}\left(\cos {\frac {\lambda \varpi }{4m}}+\sin {\frac {\lambda \varpi }{4m}}{\sqrt {-1}}\right)^{2}={\frac {1}{2}}\left(\cos {\frac {\lambda \varpi }{2m}}+\sin {\frac {\lambda \varpi }{2m}}{\sqrt {-1}}\right),\\q^{2}=&{\frac {1}{2}}\left(\cos {\frac {\lambda \varpi }{4m}}-\sin {\frac {\lambda \varpi }{4m}}{\sqrt {-1}}\right)^{2}={\frac {1}{2}}\left(\cos {\frac {\lambda \varpi }{2m}}-\sin {\frac {\lambda \varpi }{2m}}{\sqrt {-1}}\right),\end{aligned}}$

$p^{2}-q^{2}=\sin {\frac {\lambda \varpi }{2m}}{\sqrt {-1}}.$