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équations

${\begin{aligned}&\mathrm {M_{2}=KM_{1}} ,\\&\mathrm {M_{3}=KM_{2}-M_{1}} ,\\&\mathrm {M_{4}=KM_{3}-M_{2}} ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\&\mathrm {M} _{m-1}=\mathrm {KM} _{m-2},\end{aligned}}$

d’où l’on doit tirer les valeurs des $\mathrm {M} .$

Pour y parvenir, je considère que, ces équations étant toutes semblables, on peut les exprimer généralement par

$\mathrm {M_{\mu -1}=KM_{\mu -1}-M_{\mu -2}} ,$

posant pour $\mu$ tous les nombres entiers positifs depuis zéro jusqu’à $m-1,$ laquelle équation contient évidemment une suite récurrente, dont l’échelle de relation est $\mathrm {K} -1.$ On aura donc, pour la valeur de $M_{\mu },$ l’expression $\mathrm {A} a^{\mu }+\mathrm {B} b^{\mu },$ où $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ sont des constantes, et $a$ et $b$ expriment les racines de l’équation du second degré $z^{2}-\mathrm {K} z+1=0.$ De cette équation l’on tire

$z={\frac {\mathrm {K} }{2}}\pm {\sqrt {{\frac {\mathrm {K} ^{2}}{4}}-1}},$

ce qui donne

$a={\frac {\mathrm {K} }{2}}+{\sqrt {{\frac {\mathrm {K} ^{2}}{4}}-1}},\qquad b={\frac {\mathrm {K} }{2}}-{\sqrt {{\frac {\mathrm {K} ^{2}}{4}}-1}}.$

Pour déterminer les constantes $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B} ,$ on fera la comparaison des deux premiers termes, savoir $\mathrm {M} _{0}$ et $\mathrm {M} _{1}\,;$ or $\mathrm {M} _{0}$ est évidemment égal à zéro, puisque l’équation qu’il devrait multiplier ne se trouve pas, et $\mathrm {M} _{1}$ est égal à $1$ par supposition ; on aura donc

$\mathrm {A+B} =0\quad {\text{et}}\quad \mathrm {A} a+\mathrm {B} b=1,$

d’où l’on déduit

$\mathrm {B=-A} ,\qquad \mathrm {A} (a-b)=1,\qquad \mathrm {A} ={\frac {1}{a-b}}\quad {\text{et}}\quad \mathrm {B} =-{\frac {1}{a-b}}\,;$