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CHAPITRE III.

solution du problème général proposé dans les chapitres précédents.

19. Soit, pour abréger, ${\frac {2\mathrm {E} h}{\mathrm {MT} ^{2}r}}=e\,;$ on aura (8) les équations suivantes :

${\begin{aligned}&{\frac {d^{2}y_{1}}{dt^{2}}}=e(y_{2}-2y_{1}),\\&{\frac {d^{2}y_{2}}{dt^{2}}}=e(y_{3}-2y_{2}+y_{1}),\\&{\frac {d^{2}y_{3}}{dt^{2}}}=e(y_{4}-2y_{3}+y_{2}),\\&{\frac {d^{2}y_{4}}{dt^{2}}}=e(y_{5}-2y_{4}+y_{3}),\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\&{\frac {d^{2}y_{m-1}}{dt^{2}}}=e(-2y_{m-1}+y_{m-2}).\end{aligned}}$

Pour intégrer toutes ces équations, on n’a qu’à recourir à la méthode que M. d’Alembert nous a donnée dans les Mémoires de l’Académie Royale de Berlin. On supposera d’abord, selon cette méthode,

$dy_{1}=u_{1}dt,\ \ dy_{2}=u_{2}dt,\ \ dy_{3}=u_{3}dt,\ \ dy_{4}=u_{4}dt,\ \ \ldots dy_{m-1}=u_{m-1}dt\,;$

ce qui changera les équations différentielles du second ordre dans les suivantes du premier :

${\begin{aligned}&du_{1}=e(y_{2}-2y_{1})dt,\\&du_{2}=e(y_{3}-2y_{2}+y_{1})dt,\\&du_{3}=e(y_{4}-2y_{3}+y_{2})dt,\\&du_{4}=e(y_{5}-2y_{4}+y_{3})dt,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\&du_{m-1}=e(-2y_{m-1}+y_{m-2})dt.\end{aligned}}$

Il est à remarquer que les quantités $u_{1},u_{2},u_{3},\ldots ,$ expriment les vi-