forme (fig. 6), continuée de part et d’autre à l’infini par des parties semblables situées alternativement au-dessus
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et au-dessous de l’axe, sera propre à représenter la fonction soit que cette courbe soit régulière ou qu’elle soit irrégulière. D’où il s’ensuit que, puisque au commencement du mouvement l’équation de la courbe est il suffira de considérer la courbe initiale de la corde quelle qu’elle soit, et si on réitère sa description au-dessous et au-dessus de l’axe de part et d’autre à l’infini, la moitié de la somme des ordonnées, qui répondent aux abscisses dans la courbe composée sera l’ordonnée à l’abscisse dans la courbe de la corde tendue après un temps quelconque
14. Cette construction de M. Euler est évidemment beaucoup plus générale que celle que M. d’Alembert a imaginée, celui-ci ayant toujours supposé que la courbe génératrice soit régulière, et qu’elle puisse être renfermée dans une équation continue. C’est dans cette idée que ce grand Géomètre a cru qu’une telle construction devenait insuffisante toutes les fois que dans la courbe génératrice on n’aurait pas suivi la loi de continuité, et il s’est contenté d’en avertir le public dans une Addition à ses Mémoires, imprimée dans le tome de l’année 1750.
M. Euler a tâché de répondre à cette objection dans le tome pour l’année 1753 ; il reprend ici toute l’analyse du problème, et il soutient constamment contre M. d’Alembert que pour l’exactitude de la construction donnée, il n’est nullement nécessaire d’avoir égard à la loi de continuité dans la fonction qui dépend de la courbe initiale de la corde. Mais comme M. d’Alembert n’a apporté aucune raison particulière pour appuyer son objection, M. Euler n’en a aussi apporté aucune, d’où il suit que la question reste encore indécise. M. d’Alembert promet dans
