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RECHERCHES SUR LA NATURE

les principes sur lesquels elle est appuyée, et les conséquences qui en résultent pour la théorie en question.

On a vu (11) que la force accélératrice du point $\mathrm {E}$ en $e$ est exprimée généralement par $-{\frac {\mathrm {P} a}{\mathrm {S} }}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},$ quelle que soit la courbe de la corde tendue $\mathrm {A} e\mathrm {B} \,;$ donc, puisque cette force tend à faire parcourir au point $\mathrm {E}$ l’espace $e\mathrm {E} =y,$ elle devra être égale à $-{\frac {\mathrm {T} ^{2}}{2h}}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}\,;$ on aura donc pour l’équation générale de la courbe, dans un temps quelconque $t$,

${\frac {\mathrm {P} a}{\mathrm {S} }}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {\mathrm {T} ^{2}}{2h}}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}.$

Il faut d’abord remarquer dans cette équation que la différentielle $d^{2}y$ du premier membre doit être prise en regardant l'$x$ seule comme variable, au lieu que dans la différentielle $d^{2}y$ du second membre c’est le seul temps $t$ qui doit varier. Les Géomètres ont coutume de mettre de telles expressions entre deux parenthèses de la manière suivante, $\left({\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\right),\left({\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}\right),$ afin que l’on puisse juger, par la simple inspection, laquelle des variables $x$ où $t$ doit être changeante dans la différentiation de $y$. Soit, pour abréger, ${\frac {2\mathrm {P} ah}{\mathrm {ST} ^{2}}}=c,$ et on aura à intégrer l’équation

$\left({\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}\right)=c\left({\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\right).$

Or M. d’Alembert trouve, par une analyse neuve et ingénieuse, que l’équation finie qui répond à celle-ci est

$y=\Psi (t{\sqrt {c}}+x)-\Gamma (t{\sqrt {c}}-x),$

$\Psi$ et $\Gamma$ exprimant des fonctions quelconques des quantités $t{\sqrt {c}}+x$ et $t{\sqrt {c}}-x$. Voilà donc quelle sera l’équation générale de la courbe que peut former une corde tendue. À l’égard de la nature des fonctions exprimées par $\Psi$ et par $\Gamma ,$ elles sont en elles-mêmes indéterminées ; mais,