cette ligne. Or, appliquons à la ligne connue AB un rectangle égal au rectangle connu E et défaillant d’un carré, ce qui est possible (*[1]), parce que le rectangle E n’est pas plus grand que le carré de la moitié de AB. Que ce soit le rectangle AZ, et que le carré défaillant soit CD, conformément à ce qui est exposé par Euclide dans le sixième livre des Éléments. Le côté CB sera alors connu, ainsi qu’il est expliqué dans les Données (**[2]). Mais c’est ce qu’il s’agissait de montrer.
Il est évident que cette espèce comprend différents cas (***[3]), et qu’elle donne lieu à des problèmes impossibles (****[4]). Quant aux conditions de sa solubilité en nombres entiers, elles peuvent être déduites de ce que nous en avons dit à l’occasion de la première espèce (*****[5]).
Troisième espèce. « Un nombre et des racines sont égaux à un carré (******[6]). » On ajoute le carré de la moitié (du nombre) des racines au nombre, puis on prend la racine de la somme, et l’ajoute à la moitié (du nombre) des racines. Ce qui résulte est la racine du carré.
- ↑ *) Voir Euclide, Éléments, VI, 27, 28.
- ↑ **) Prop. 58.
- ↑ ***) A savoir les cas x > = < b/2
- ↑ ****) A savoir lorsque a > (b/2)2.
- ↑ *****) En ce cas-ci, une des deux valeurs pourra être entière sans qu’aucune des deux conditions dont veut parler l’auteur soit remplie ; on n’a qu’à supposer a = σ . α , b = σ + α, une des deux solutions sera α. Mais, même afin de les rendre entières toutes les deux, la première condition, que b soit pair, n’est pas nécessaire ; et quant à la seconde, que () 2 — a doit être un nombre carré, il est nécessaire seulement que cette expression soit de la forme ()2, p désignant un nombre entier pair ou impair. Pour s’en convaincre, il suffit de supposer a = α . β, b = α + β en désignant par α un nombre positif, entier et pair, par β un nombre positif, entier et impair.
- ↑ ******) ix, bx + a = x2 ; + = x.