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diamètre AH du cercle circonscrit au triangle ACD (*^[1]}, est égal au rapport (1 - $\textstyle {\sqrt[{}]{\tfrac {1}{2}}}:2$ ; que l’on a $CB.BT={\overline {AB}}^{2}$, $CB+BT=CT$ ; et que, conséquemment, $CB$, $BT$ et le rapport $AB:BC$ sont connus.

Pour $\alpha ={\tfrac {90^{o}}{10}}$

85

Pour $\alpha ={\tfrac {90^{o}}{7}}$

il démontre, en faisant AB = BD et DE = AD, que

$AE:AD=AD:AC$,

AD : CE = AC : (AC + CE).|85}}

Pour $\alpha ={\tfrac {90^{o}}{9}}$

il démontre que

$AE:AD=AD:AC=$

$=AC:(2AC+CE)$.

La démonstration du cas $\alpha ={\tfrac {90^{o}}{7}}$ est absolument identique avec celle que je viens de donner ci-dessus d’après Aboûl Djoûd ; et pour la démonstration du cas $\alpha ={\tfrac {90^{o}}{7}}$, l’auteur se sert également d’un procédé parfaitement analogue à celui employé par Aboûl Djoûd pour la construction du côté de l’ennéagone.

Or, en faisant, comme ci-dessus, $AC=1$, $AD=x$ :, les deux relations données pour $\alpha ={\tfrac {90^{o}}{7}}$ se transforment dans $AE=x^{2}$, $(1-x^{2})=x:(2-x^{2})$ ; donc $x^{3}-x^{2}-2x+1=0$ ; on voit donc que la construction de l’heptagone inscrit au cercle dépend d’une équation du troisième degré, ou de l’intersection de deux coniques.

Et en effet, dans l’introduction de ce mémoire, l’auteur s’exprime ainsi :

« Lorsque, par exemple, on aura déterminé les deux côtés renfermant l’angle droit dans un triangle dont on des deux autres angles est égal à la septième partie d’un angle droit, on peut facilement construire la corde de la septième partie de la circonférence, dont la détermination n’avait pu être obtenue jusqu’à nos jours, jusqu’à ce qu’Aboû Sahl Alqoûhl (**^[2]) et moi nous l’ayons construite au moyen des sections coniques. » Puis, après avoir terminé la discussion du cas $\alpha ={\tfrac {90^{o}}{7}}$, l’auteur ajoute : « Et c’est au moyen de cette proposition que j’ai construit l’heptagone inscrit au cercle. »

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1. *) La corde DB, qui est perpendiculaire au diamètre AB, est prise poor unité dans ce cas.
2. **) Comparer pag. 55, lign. 20.