Alqoûhî distingue ces cas suivant les différentes valeurs que peut prendre le rapport , à savoir :
, , ;
ce qui équivaut à
, , .
Il démontre d’abord d’une manière rigoureuse, par la considération de la tangente commune, qu’au cas du contact des deux coniques on a ; ensuite qu’on a généralement , et que le dénominateur de cette dernière expression devenant un maximum au cas du contact, puisque alors , la valeur \tfrac{\sqrt{2}}{1} correspondant au cas du contact sera la valeur minimum du rapport , et la limite qu’il ne peut pas surpasser en petitesse.
Il démontre ensuite, d’une manière non moins rigoureuse et non moins purement géométrique, que tant que Δ > r, on aura ; d’où il suit que le segment qu’il s’agit de construire doit être plus grand que l’hémisphère, le rapport donné a pour limite supérieure .
L’auteur constate encore que lorsque le segment est plus petit que l’hémisphère, le rapport n’a pas de limite supérieure, et que de ce qui précède il suit qμ’aux valeurs de