Page:L’Algèbre d’Omar Alkhayyami.djvu/130

- 99 -

et défaillant d’un (cube qui a pour base le) carré dont le côté est égal à deux tiers de AB^[1]. »

« Le produit du carré de BD en AD est égal au solide à côtés parallèles, terminé par deux carrés de BD et par quatre rectangles AD, BD ; le produit du carré de C en C, c’est le cube égal au solide donné. Le solide appliqué à AB sera dans un cas défaillant, et dans l’autre excédant, d’un cube dont le côté est égal à BD. C’est ce que nous nous proposions de démontrer. »

Ensuite le géomètre arabe se propose ce problème plus général :

Étant donné un volume V, un parallélépipède P, et une droite a, appliquer à cette droite un parallélépipède égal à V, et défail1ant ou excédant d’un parallélépipède semblable à P.

J’abrégerai considérablement la démonstration par laquelle il ramène ce problème au lemme résolu préalablement, en introduisant quelques notions modernes.

Désignons par $p,\ q,\ r,$ trois arêtes d’un parallélipipède aboutissant à un même sommet, et par $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma$ les angles compris entre ces trois arêtes prises deux à deux ; le volume de ce parallélépipède sera représenté par l’expression

$p.q.r.{\sqrt {1+2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma -\cos \alpha ^{2}-\cos \beta ^{2}-\cos \gamma ^{2}.}}$

Dès qu’il s’agit, comme ici, de parallélépipèdes semblables, $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma$ seront constants, $q$ et $r$ pourront être remplacés par $\lambda .p$ et $\mu .p,$ $\lambda$ et $\mu$ désignant des rapports constants, et $p$ seul restant

1. Évidemment est une erreur de copiste pour  ; comparer le passage du texte cité ci-dessus.