au point
(fig. 1), les formules (1) deviendront :
(2)
|
|
|
![{\displaystyle \mathrm {H} ={\frac {e\zeta '}{r(1-\beta \cos \lambda )}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/138f458850b120497a6bf96e2e5ce3c8b66c32b4)
III. — De ces potentiels, les composantes
des deux champs électrique
et magnétique
au point
se déduisent par les formules connues :
![{\displaystyle \mathrm {E} _{x}=-{\frac {\partial \Psi }{\partial x}}-{\frac {\partial \mathrm {F} }{\partial t}},\qquad \mathrm {M} _{x}={\frac {\partial \mathrm {G} }{\partial z}}-{\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial y}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2e4fc98f6b84395999ae9f5f8f39add234e2cfa)
Pour prendre les dérivées, il importe de bien remarquer comment
dépendent de
et de
; on a :
![{\displaystyle {\begin{aligned}r=\mathrm {V} \theta =&{\sqrt {(x-\xi )^{2}+(y-\eta )^{2}+(z-\zeta )^{2}}}\\r(1-\beta \cos \lambda )=&r-{\frac {1}{\mathrm {V} }}\left[(x-\xi )\xi '+(y-\eta )\eta '+(z-\zeta )\zeta '\right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab8100d482900927d98574c30a9dd6230bdbf383)
Les potentiels dépendent donc de
soit directement au dénominateur, soit par l’intermédiaire de
ou de
, puisque les
sont des fonctions de
et ils dépendent de
soit par l’intermédiaire de
qui contiennent
explicitement, soit par l’intermédiaire de
, qui figure dans
et dans les
Les dérivées intermédiaires nécessaires à connaître sont :
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\xi }{d\theta }}\ \,=&-{\frac {d\xi }{\operatorname {d} t}}\ =-\xi '\\\\{\frac {d\xi '}{d\theta }}=&-{\frac {d\xi '}{\operatorname {d} t}}=-\xi '\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7543be7a829a9bf0a560a419a7290bd47183404)
![{\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial x}}={\frac {1}{\mathrm {V} }}{\frac {\partial }{\partial x}}{\sqrt {(x-\xi )^{2}+(y-\eta )^{2}+(z-\zeta )^{2}}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8725e15acc67ae6c4a5281406f835e5db16b8a56)
![{\displaystyle {\frac {1}{\mathrm {V} r}}\left\{(x-\xi )-\left[(x-\xi ){\frac {d\xi }{d\theta }}+(y-\eta ){\frac {d\eta }{d\theta }}+(z-\zeta ){\frac {d\zeta }{d\theta }}\right]{\frac {\partial \theta }{\partial x}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd143ec1a850f42f6dd40259c0c6a09f4f8b5260)
![{\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial x}}\mathrm {V} \left\{r-{\frac {1}{\mathrm {V} }}\left[(x-\xi )\xi '+(y-\eta )\eta '+(z-\zeta )\zeta '\right]\right\}=x-\xi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b86f0463ccb050482e775d46ca39826a5cdd7b81)
![{\displaystyle {\frac {1}{\mathrm {V} }}{\frac {\partial r}{\partial x}}={\frac {\partial \theta }{\partial x}}={\frac {x-\xi }{\mathrm {V} r(1-\beta \cos \lambda )}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efdbb8e0e89c2cc48e63c2a0ab68d52f10a8b179)
![{\displaystyle {\frac {\partial \xi }{\partial x}}={\frac {d\xi }{d\theta }}{\frac {\partial \theta }{\partial x}}=-{\frac {(x-\xi )\xi '}{\mathrm {V} r(1-\beta \cos \lambda )}},\quad {\frac {\partial \xi '}{\partial x}}=-{\frac {(x-\xi )\xi '}{\mathrm {V} r(1-\beta \cos \lambda )}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dfdb2e5c7c31ab717dc3c6f6f73fc122dbf656f)
puis
![{\displaystyle {\frac {\partial \xi }{\partial t}}={\frac {d\xi }{dt}}+{\frac {d\xi }{d\theta }}{\frac {\partial \theta }{\partial t}}=\xi '\left(1-{\frac {\partial \theta }{\partial t}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e69b6768ad0fb1716df41df9d06b335d26ec133)
![{\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial t}}={\frac {1}{\mathrm {V} }}{\frac {\partial r}{\partial t}}={\frac {1}{\mathrm {V} r}}\left[-(x-\xi ){\frac {\partial \xi }{\partial t}}-(y-\eta ){\frac {\partial \eta }{\partial t}}-(z-\zeta ){\frac {\partial \zeta }{\partial t}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83424ba851f57d5780ce4e00729dfdfac0cec7f2)