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membre de degrés $1$, $2$, $\ldots$, ${\frac {n}{2}}$, on n’en trouve aucun dont les coefficients soient fonctions rationnelles des quantités données.

La question peut donc toujours être ramenée à rechercher si une équation algébrique $\operatorname {F} (x)=0$ à une seule inconnue peut avoir pour racine une fonction de ce genre. Pour cela, il y a plusieurs cas à considérer. 1^o Si les coefficients ne dépendent que de nombres donnés entiers ou fractionnaires, il suffira d’appliquer la méthode des racines commensurables. 2^o Il peut arriver que les données représentées par les lettres $p$, $q$, $r$ soient susceptibles de prendre une infinité de valeurs, et que la condition cesse d’être remplie, comme quand elles désignent plusieurs lignes prises arbitrairement : alors, après avoir ramené l’équation $\operatorname {F} (x)=0$ à une forme telle que ses coefficients soient des fractions entières de $p$, $q$, $r$, $\ldots$ et que celui du premier terme soit l’unité, on remplacera $x$ par $a_{m}p^{m}-a_{m-1}p^{m-1}+\ldots +a_{0}$, et l’on égalera à zéro les coefficients des différentes puissances dans le résultat ; les équations obtenues en $a_{m}$, $a_{m-1}\ldots ,$ seront traitées comme l’équation en $x$, c’est-à-dire qu’on y remplacera ces quantités par des fonctions entières de $q$, et ainsi de suite jusqu’à ce qu’ayant épuisé toutes les lettres on soit arrivé à des équations numériques qui rentreront dans le premier cas. 3^o Lorsque les données sont des nombres irrationnels, ils doivent être racines d’équations algébriques qu’on peut supposer irréductibles ; dans ce cas, si l’on remplace $x$ par $a_{m}p^{m}+a_{m-1}p^{m-1}+\ldots +a_{0}$ dans $\operatorname {F} (x)=0$, le premier membre de l’équation en $p$, ainsi obtenue, devra être divisible par celui de l’équation irréductible dont le nombre $p$ est racine ; en exprimant que cette division se fait exactement, on aboutit à des équations en $a_{m}$, $a_{m-1}$, $\ldots$, que l’on traitera comme l’équation $\operatorname {F} (x)=0$, jusqu’à ce que l’on parvienne à des équations numériques. On doit remarquer que $m$ peut toujours être pris inférieur au degré de l’équation qui donne $p$.

Ces procédés sont d’une application pénible en général, mais on peut les simplifier et obtenir des résultats plus précis dans certains cas très étendus, que nous étudierons spécialement.

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