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$\operatorname {F} (x)=0$ ; si les conditions ne peuvent être vérifiées en donnant des valeurs rationnelles aux indéterminées introduites, le problème ne peut être ramené au second degré.

On peut simplifier ce procédé, en supposant que les racines de chacune des équations (A) donnent le dernier terme de la suivante ; ainsi, l’on peut prendre ${\rm {B}}_{n-1}$ pour l’inconnue de l’avant-dernière équation, puisque ${\rm {B}}_{n-1}=b_{n-1}x_{n-1}+b'_{n-1}$ d’où $x_{n-1}={\frac {{\rm {B}}_{n-1}-b'_{n-1}}{b_{n-1}}}$ ; de cette manière les éliminations se font plus rapidement et l’on introduit quatre quantités indéterminées dans l’équation du quatrième degré qui résulte de la première élimination, huit dans l’équation du huitième degré, etc., en sorte que les conditions obtenues en identifiant, sont en même nombre que les quantités à déterminer. Mais on écarte aussi à l’avance le cas où l’une des quantités telle que $b_{n-1}$ serait nulle, et il faut étudier ce cas séparément.

Soit, par exemple, l’équation $x^{4}+px^{2}+qx+r=0$. Prenons de suite les équations du second degré sous la forme $x_{1}^{2}+{\rm {A}}x_{1}+{\rm {B}}=0$ et $x^{2}+(ax_{1}+a')x+x_{1}=0$ ; en éliminant $x_{1}$ et identifiant, on aura,

$2a_{1}-{\rm {A}}a=0$, $a'^{2}+{\rm {A}}aa'-{\rm {A}}+a^{2}{\rm {B}}=p$, $2a{\rm {B}}-a'{\rm {A}}=q$, ${\rm {B}}=r\,$,

d’où

${\rm {B}}=r,\ \ a={\frac {2q}{4r-{\rm {A}}^{2}}},\ \ a'={\frac {{\rm {A}}q}{4r-{\rm {A}}^{2}}},\ \ {\rm {A}}^{3}+p{\rm {A}}^{2}-4r{\rm {A}}+q^{2}-4rp=0.$

Comme ${\rm {B}},a$ et $a'$ sont exprimés rationnellement au moyen de ${\rm {A}},p,q,r,$ il faut et il suffit que l’équation du troisième degré en ${\rm {A}}$ ait pour racine une fonction rationnelle des données. La condition est toujours satisfaite quand $q=0,$ quels que soient $p$ et $r,$ car ${\rm {A}}=-p$ satisfait alors à la dernière équation.

En prenant $x_{1}$ pour dernier terme de la deuxième équation du second degré, on a exclu le cas où ce terme serait indépendant de la racine de la première équation ; mais en le traitant directement, on ne trouve aucune solution de la question qui ne soit comprise dans les équations ci-dessus.

Ainsi, par un calcul plus ou moins long, on pourra toujours s’assurer si un problème donné est susceptible d’être résolu au moyen d’une série d’équations du second degré, pouvu qu’on sache reconnaître si une équation peut être satisfaite par une fonction rationnelle des données, et si elle est irréductible. Une équation de degré $n$ sera irréductible lorsqu’en cherchant les diviseurs de son premier