Je suppose derechef
j’aurai simplement
![{\displaystyle y''=ap''+bq''+cr'',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b77645fb4dfb2cd2c4514873f3b17d439488d274)
d’où je tire, en prenant encore les fonctions primes,
![{\displaystyle y'''=ap'''+bq'''+cr'''+a'p''+b'q''+c'r''.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e70d79d88dc9ebe14a84e3aab96af3e0a9675949)
Je substitue maintenant les valeurs de
et
dans l’équation proposée ; il est visible que, par la nature des quantités
les termes qui contiendront
se détruiront, et il ne restera que l’équation
![{\displaystyle a'p''+b'q''+c'r''=\mathrm {X} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c04fdab0f36b050995decb7b5fb170ce5bfc8b5)
qui, étant combinée avec les deux équations supposées
![{\displaystyle {\begin{aligned}&a'p\ +b'q\ +c'r\ =0,\\&a'p'+b'q'+c'r'=0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1757003c8fd5574cc14417959b9cd57d6f3f31b0)
servira à déterminer les trois quantités
les quantités
et leurs fonctions primes et secondes étant connues, ainsi que la quantité ![{\displaystyle \mathrm {X} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d402989a879b09601b3d7bda7617d43b609525c8)
Supposons donc qu’on ait trouvé
ces quantités
étant des fonctions connues de
il n’y aura qu’à les regarder comme des fonctions primes et en chercher les fonctions primitives, qui contiendront chacune une constante arbitraire qui pourra lui être ajoutée. On aura ainsi les valeurs des inconnues
qu’on substituera ensuite dans l’expression de
55. Lorsque l’équation n’est que du premier ordre, on n’a besoin que d’une valeur
et l’on peut toujours la trouver, car on a alors l’équation
![{\displaystyle \mathrm {A} p+p'=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdd145e85dd3bccf539946cc970a23d24b42298a)
à laquelle satisfait cette valeur
étant la fonction primitive de
de manière que
et
dénotant toujours le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité ; en effet, on aura, en prenant les fonctions primes,
![{\displaystyle p'=-\mathrm {M} 'e^{-\mathrm {M} }=-\mathrm {A} p.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3d4e0b6d147afb471315427e8f94cc159f999b4)