Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 9.djvu/94

alors la fonction prime de $y$ deviendrait l’unité, et l’on y substituerait simplement ${\frac {1}{x'}}$ pour $y',$ $-{\frac {x''}{x'^{3}}}$ pour $y'',$ et ainsi de suite.

51. Il y a, au reste, une manière générale de trouver l’équation primitive d’une équation dérivée d’un ordre quelconque elle consiste à rendre le premier membre de l’équation, dont le second est zéro, une fonction dérivée exacte par le moyen d’un multiplicateur. On trouvera dans la Leçon XIII du Calcul des fonctions une démonstration de l’existence de ce multiplicateur dans toutes les équations dérivées^[1] ; mais la recherche en est le plus souvent très-difficile, ce qui rend cette méthode plus curieuse qu’utile.

52. Quant à la manière de trouver les fonctions primitives des fonctions d’une seule variable, comme de $\operatorname {F} (x)$ ou de $y'\operatorname {F} (y),$ on sait que, si $\operatorname {F} (x)$ est une fonction rationnelle de $x,$ on peut toujours la décomposer en différents termes de la forme $x^{m}$ ou ${\frac {1}{(a+bx)^{m}}},$ $m$ étant un nombre entier positif et $a+bx$ un facteur du dénominateur de la fonction, s’il en a un. Ainsi la fonction primitive de $\operatorname {F} (x)$ sera composée d’autant de termes de la forme ${\frac {x^{m+1}}{m+1}}$ et ${\frac {(a+bx)^{1-m}}{b(1-m)}},$ ou $\operatorname {l} x$ si $m=-1,$ et ${\frac {\operatorname {l} (a+bx)}{b}}$ si $m=1,$ et il en sera de même de la fonction primitive de $y'\operatorname {F} (y)$ (n^o 32).

Si $\operatorname {F} (x)$ contient des quantités irrationnelles, on les fera disparaître par des substitutions, ce qui n’est possible en général, par les méthodes connues, que pour les radicaux de la forme ${\sqrt {a+bx+cx^{2}}}.$ Quand il y a dans $\operatorname {F} (x)$ des radicaux plus compliqués, ou même quand il y a plus d’un radical de cette forme, la recherche de la fonction primitive devient impossible en général par les méthodes connues, et l’on ne peut l’obtenir que par le moyen des séries, soit en faisant disparaître les radicaux par leur résolution en série, soit en employant la méthode générale pour le développement en série de toute fonction de $x$ (n^o 33).

1. Œuvres de Lagrange, t. X.