étant un coefficient constant, ce qui donne
car, substituant ces valeurs, l’équation se réduit à
![{\displaystyle \left(1+m^{2}\right)\mathrm {X} '^{3}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a73951baa84d2cb38965d0e071f83fc76ecf54c)
donc
![{\displaystyle 1+m^{2}=0\quad {\text{et}}\quad m={\sqrt {-1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34ba4621a43995156b92b49d3752a3d72d5c6f93)
Ainsi l’on aura
![{\displaystyle \mathrm {V'=X'} {\sqrt {-1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92f605d800849c01b61432ec382bf78afb610bb9)
et de là, en remontant à l’équation primitive,
![{\displaystyle \mathrm {V=X} {\sqrt {-1}}+a,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e600d244ea3644c5e5dfd6e8c1ec89f6d8eff51)
étant une constante arbitraire ; donc
![{\displaystyle e^{\mathrm {V} }=e^{a+\mathrm {X} {\sqrt {-1}}}=e^{a}e^{\mathrm {X} {\sqrt {-1}}}=\mathrm {A} e^{\mathrm {X} {\sqrt {-1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/daf749696984b74359ef3d65ca311a94cae77778)
en faisant
pour plus de simplicité.
On aura donc
![{\displaystyle y=\mathrm {A} e^{\mathrm {X} {\sqrt {-1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3eedf2b2705777a778bfc5fc0cb1064ddf1beb19)
et, comme le radical
peut être pris également en plus et en moins, on aura également
![{\displaystyle y=\mathrm {B} e^{-\mathrm {X} {\sqrt {-1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a944cf8cfc6ef707f322ee013cb41a8222570c8)
étant une autre constante arbitraire ; en effet, il est aisé de voir que chacune de ces deux valeurs satisfait à l’équation
![{\displaystyle \mathrm {X} 'y''-\mathrm {X} ''y'+\mathrm {X} '^{3}y=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1270d8f03e9001efdd69a0e18c625b2cb3a7f04d)
et l’on voit aussi facilement que leur somme y satisfait encore, parce que les quantités
n’y sont que sous la forme linéaire, de sorte qu’on aura, en général,
![{\displaystyle y=\mathrm {A} e^{\mathrm {X} {\sqrt {-1}}}+\mathrm {B} e^{-\mathrm {X} {\sqrt {-1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa708a317dd701d5c2309ffa03487a40ff0c72b1)
et
étant de nouveau deux coefficients indéterminés comme ci-dessus.
Cette expression de
convient également à
et à
la diffé-